Fundamentos teóricos de la función cuadrática.

Descripción

Función cuadrática.

Definición de la función cuadrática.

La función cuadrática se define como:

f (x) = a x² + b x + c a ≠ 0 a, b, c ∈ ℝ. a, b, c = Constantes.

La condición de que a ≠ 0 se debe a que, si a = 0, entonces la función cuadrática se reduce a la forma f (x) = b x + c, la cual se corresponde con una función lineal.

Los valores a, b y c se denominan coeficientes de la función cuadrática.

Ejemplos de la función cuadrática.

Son ejemplos de función cuadrática, junto con el valor de sus coeficientes, los siguientes:

f (x) = – 3 x² + 2 x – 1; a = – 3, b = 2, c = – 1

\( f\,(x) = \frac{3}{4}x^2+3+2\,x\); \( a = \frac{3}{4}\) , b = 2, c = 3

f (x) = 3 x – 1 – 4 x²; a = – 4, b = 3, c = – 1

f (x) = x² + 2 x; a = 2, b = 2, c = 0

f (x) = – 2 x² – 1; a = – 2, b = 0, c = – 1

f (x) = 3 x²; a = 3, b = 0, c = 0

f (x) = – 5 x²; a = – 5 , b = 0, c = 0

Dominio de la función cuadrática.

El dominio de la función está conformado por el conjunto de valores que adopta la variable independiente (x). En este caso, x puede adoptar cualquier valor real.

Dom f = ℝ.

De acuerdo a la forma algebraica de la función cuadrática, su dominio es el campo de los números reales (ℝ), sin embargo, el problema puede plantearse restringiendo éste a un intervalo. Cuando eso ocurre se dice que la función cuadrática tiene el dominio restringido y el dominio de la función es el intervalo indicado. El estudio de la función se realiza en el campo de los números reales y finalmente se hacen los ajustes para enmarcar la gráfica en el dominio (restringido) indicado para la función.

El concepto discutido en el párrafo anterior acerca del dominio restringido de una función es particularmente útil cuando se estudian funciones ramificadas, las cuales forman parte de esta unidad del curso de cálculo diferencial.

Gráfica de la función cuadrática.

La representación gráfica de la función cuadrática es una curva llamada parábola cuya concavidad depende del valor de “a”:

Se tienen los dos casos:

Coeficiente de x² positivo: a > 0.

Parábola cóncava hacia arriba.

Coeficiente de x² negativo: a < 0.

Parábola cóncava hacia abajo.

El punto mínimo (cuando es cóncava hacia arriba) o máximo (cuando es cóncava hacia abajo) de la curva recibe el nombre de vértice de la parábola.

Puntos notables de la gráfica de la función cuadrática.

Estos son los puntos suficientes para realizar la gráfica de la función.

Coordenadas del vértice.

Las coordenadas del vértice de la parábola están dadas por las ecuaciones:

\( \displaystyle x_V = -\frac{b}{2\,a}\)

\( \displaystyle y_V = \frac{4\,a\,c-b^2}{4\,a}\)

La coordenada “y” del vértice (y_V) también se puede determinar sustituyendo el valor de x_V en la función.

y_V = f (x_V)

El punto correspondiente al vértice de la parábola es entonces:

\( \displaystyle V\,\left(-\frac{b}{2\,a},\frac{4\,a\,c-b^2}{4\,a}\right)\)

Independientemente de si la parábola es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, el vértice está ubicado en el punto \( \displaystyle \left(-\frac{b}{2\,a},\frac{4\,a\,c-b^2}{4\,a}\right)\).

Puntos de intersección con los ejes.

Intersección con el eje y: x = 0.

Coordenadas del punto de intersección con el eje y.

Al sustituir x = 0 en la función cuadrática:

y = a (0)² + b (0) + c

y = c

Corte al eje y: ( 0 , c )

Independientemente de si la parábola es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, el corte con el eje “y” es el punto (0 , c).

Intersección con el eje x: y = 0.

Dependiendo del valor del discriminante b² – 4 a c, se tienen los siguientes casos:

Caso 1. b² – 4 a c > 0: Existen 2 puntos de intersección con el eje x.

Cuando existen dos puntos de intersección, para determinarlos es necesario resolver la ecuación de segundo grado a x² + b x + c = 0. Uno de los mecanismos de solución es mediante la fórmula:

\( \displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}\)

Cortes al eje x:

\( \displaystyle \left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a},0\right)\)

\( \displaystyle \left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a},0\right)\)

También se pueden determinar los puntos de intersección mediante la factorización del trinomio a x² + b x + c, mediante el método de Ruffini, por tanteo o por cualquier otro mecanismo que permita resolver una ecuación de segundo grado.

Caso 2. b² – 4 a c = 0: Existe 1 punto de intersección con el eje x.

Si existe sólo un punto de intersección con el eje x, éste punto coincide con el vértice de la parábola.

Caso 3. b² – 4 a c < 0: No existe punto de intersección con el eje x.

Obsérvese que b² – 4 a c aparece en el cálculo de la coordenada “y” del vértice (está con signo opuesto en el numerador).

Si no hay puntos de intersección, la parábola podría estar entre el primer y segundo cuadrante (“y” siempre es positiva) y también podría estar entre el tercer y cuarto cuadrante (“y” siempre es negativa).

Consideraciones adicionales.

1) Si la parábola presenta sólo un punto de corte con el eje x, o no presenta cortes con el eje x, para obtener puntos representativos de la gráfica, se deben determinar dos puntos adicionales asignándole valores arbitrarios a x con la condición que un valor de x sea menor que x_V y el otro sea mayor que x_V. Adicionalmente, si la función tiene dominio restringido, se deben considerar los extremos del intervalo que restringen al dominio. Esto es, evaluar la función en los extremos, con excepción de + ∞ ó – ∞ si aparecieren como límites del intervalo.

2) Es posible que la función cuadrática resulte de la simplificación de factores en una función racional. En ese caso se debe hacer la simplificación, determinar el dominio (como una función racional) y hacer el análisis de la función cuadrática resultante. Se debe tener cuidado de excluir de la gráfica de la función los puntos correspondientes a valores de x que anulen el denominador de la función racional original (si los hubiere).

Rango de la función cuadrática.

Depende de la concavidad. Se presentan los dos casos siguientes:

Parábola cóncava hacia arriba, a > 0.