Descripción
SOLUCIÓN DEL EJERCICIO.
\( \displaystyle f\,(x) = \frac{-x^3-4\,x^2-x+6}{x+2}\)
Dominio de la función.
Se trata de una función racional \( \displaystyle f\,(x) = \frac{P\,(x)}{Q\,(x)}\).
Dom f = ℝ – {x ∈ ℝ / Q (x) = 0}
Dom f = ℝ – {x ∈ ℝ / x + 2 = 0}
Resolvemos la ecuación con el objeto de encontrar los valores que anulan el denominador de la función:
x + 2 = 0
x = – 2
Dom f = ℝ – {– 2}
Dom f = ( – ∞ , – 2 ) ∪ ( – 2 , + ∞ )
A continuación analizaremos si la función puede simplificarse a una forma cuadrática.
Aplicamos el método de Ruffini para factorizar el numerador – x3 – 4 x2 – x + 6
La forma factorizada del numerador es:
– x3 – 4 x2 – x + 6 = – (x – 1) (x + 2) (x + 3).
La función se reescribe como:
\( \displaystyle f\,(x) = \frac{-(x-1)\,(x+2)\,(x+3)}{x+2}\)
Al simplificar el factor (x + 2) presente tanto en el numerador como en el denominador:
f (x) = – (x – 1) (x + 3) x ≠ – 2 ó
f (x) = – x2 – 2 x + 3 x ≠ – 2
Tipo de función.
Se trata de una función cuadrática f (x) = a x2 + b x + c.
Coeficientes de la función.
Al comparar la función obtenida f (x) = – x2 – 2 x + 3 con la forma general de la función cuadrática, f (x) = a x2 + b x + c, se tiene:
a = – 1, b = – 2, c = 3.
Forma de la gráfica de la función.
Puesto que a < 0, la parábola es cóncava hacia abajo.
Elementos de la gráfica de la función.
Coordenadas del vértice.
|
Coordenada x. \( \displaystyle x_V = \frac{-b}{2\,a}\) \( \displaystyle x_V = \frac{-(-2)}{2\,(-1)}\) \( \displaystyle x_V = \frac{2}{-2}\) xV = – 1 |
Coordenada y. \( \displaystyle y_V = \frac{4\,a\,c-b^2}{4\,a}\) \( \displaystyle y_V = \frac{4\,(-1)\,(3)-(-2)^2}{4\,(-1)}\) \( \displaystyle y_V = \frac{-12-4}{-4}\) \( \displaystyle y_V = \frac{-16}{-4}\) yV = 4 |
Coordenadas del vértice.
V ( – 1 , 4 )
En la figura siguiente se ilustra el punto V correspondiente al vértice de la parábola.
Puntos de intersección con los ejes.
Corte al eje y: ( 0 , c )
Corte al eje y: ( 0 , 3)
En la figura siguiente se ilustra el punto correspondiente al corte de la parábola con el eje y.
Corte al eje x.
Determinación del número de cortes con el eje x.
b2 – 4 a c = 16 > 0. Existen dos cortes con el eje x.
Los valores de la abcisa en el punto de corte con el eje x se determina con la ecuación:
\( \displaystyle x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}\)
La ordenada correspondiente de dichos puntos es 0.
Al sustituir valores:
\( \displaystyle x = \frac{-(-2)\pm\sqrt{16}}{2\,(-1)}\)
\( \displaystyle x = \frac{2\pm4}{-2}\)
Se obtienen dos valores para x.
|
\( \displaystyle x_1 = \frac{2+4}{-2}\) \( \displaystyle x_1 = \frac{6}{-2}\) x1 = – 3 |
\( \displaystyle x_2 = \frac{2-4}{-2}\) \( \displaystyle x_2 = \frac{-2}{-2}\) x2 = 1 |
Cortes al eje x: B ( – 3 , 0 ) y C ( 1 , 0 ).
En la figura siguiente se ilustran los puntos B y C correspondientes a los cortes de la parábola con el eje x.
Un punto adicional a tener en cuenta es ( – 2 , f (– 2) ), puesto que la función original no existe para x = – 2.
f (x) = – x2 – 2 x + 3
f (– 2) = – (– 2)2 – 2 (– 2) + 3
f (– 2) = – 4 + 4 + 3
f (– 2) = 3
El punto D ( – 2 , 3 ) no pertenece a la curva. Esta situación se ilustra en la figura siguiente.
Gráfica de la función.
Con todos los puntos obtenidos se traza la parábola.
Obsérvese que el punto ( – 2 , 3 ) no está incluido en la gráfica de la función.
Rango de la función.
Siendo la parábola cóncava hacia abajo:
Rgo f = ( – ∞ , yV ]
Rgo f = ( – ∞ , 4 ]
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