Descripción
SOLUCIÓN DEL EJERCICIO.
f (x) = x2 + 6 x + 9
Tipo de función.
Se trata de una función cuadrática f (x) = a x2 + b x + c.
Coeficientes de la función.
Al comparar la función dada f (x) = x2 + 6 x + 9 con la forma general de la función cuadrática, f (x) = a x2 + b x + c, se tiene:
a = 1, b = 6, c = 9.
Dominio de la función.
Dom f = ℝ
Forma de la gráfica de la función.
Puesto que a = 1 > 0, la parábola es cóncava hacia arriba.
Elementos de la gráfica de la función.
Coordenadas del vértice.
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Coordenada x. \( \displaystyle x_V = \frac{-b}{2\,a}\) \( \displaystyle x_V = \frac{-6}{2\,(1)}\) \( \displaystyle x_V = \frac{-6}{2}\) xV = – 3 |
Coordenada y. \( \displaystyle y_V = \frac{4\,a\,c-b^2}{4\,a}\) \( \displaystyle y_V = \frac{4\,(1)\,(9)-(6)^2}{4\,(1)}\) \( \displaystyle y_V = \frac{36-36}{4}\) \( \displaystyle y_V = \frac{0}{4}\) yV = 0 |
Coordenadas del vértice.
V ( – 3 , 0 )
En la figura siguiente se ilustra el punto V correspondiente al vértice de la parábola.
Puntos de intersección con los ejes.
Corte al eje y: ( 0 , c )
Corte al eje y: A ( 0 , 9)
En la figura siguiente se ilustra el punto A correspondiente al corte de la parábola con el eje y.
Corte al eje x.
Determinación del número de cortes con el eje x.
b2 – 4 a c = 0. Existe sólo un corte con el eje x.
Si existe sólo un punto de intersección con el eje x, éste punto coincide con el vértice de la parábola, por lo tanto, el punto de intersección de la curva con el eje x es el punto ( – 3 , 0 ).
Hasta ahora se conocen sólo el vértice y el punto de corte con el eje y. Dos puntos adicionales de la gráfica se determinan asignándole valores a x (uno menor que la abcisa del vértice y otro mayor).
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Para x = – 4: f (– 4) = (– 4)2 + 6 (– 4) + 9 f (– 4) = 16 – 24 + 9 f (– 4) = 1 |
Para x = – 1: f (– 1) = (– 1)2 + 6 (– 1) + 9 f (– 1) = 1 – 6 + 9 f (– 1) = 4 |
El punto B ( – 4 , 1 ) pertenece a la gráfica de la función.
El punto C ( – 1 , 4 ) pertenece a la gráfica de la función.
En la figura siguiente se ilustran los puntos B y C.
Gráfica de la función.
Con todos los puntos obtenidos se traza la parábola.
Rango de la función.
Siendo la parábola cóncava hacia arriba, y a partir de la figura anterior:
Rgo f = [ yV , + ∞ )
Rgo f = [ 0 , + ∞ )
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