Descripción
Calcular la integral \( \displaystyle \int \frac{d\,x}{\sqrt{(a^2-x^2)^3}}\).
Referencias:
Ejemplo. Sección 16, Capítulo 10 Piskunov. Página 442.
Ejemplo. Sección 7.5 del Salas – Hille. Página 383.
Solución.
El integrando tiene la forma \( \displaystyle\sqrt{a^2-u^2}\), se hace la sustitución:
| x = a sen θ | d x = a cos θ d θ | \( \displaystyle \sqrt{(a^2-x^2)^3}=\sqrt{[a^2-(a\sin\theta)^2]^3}\) |
| \( \displaystyle \sqrt{(a^2-x^2)^3}=\sqrt{(a^2-a^2\sin^2\theta)^3}\) | ||
| \( \displaystyle \sqrt{(a^2-x^2)^3}=\sqrt{[a^2(1-\sin^2\theta)]^3}\) | ||
| \( \displaystyle \sqrt{(a^2-x^2)^3}=\sqrt{(a^2\cos^2\theta)^3}\) | ||
| \( \displaystyle \sqrt{(a^2-x^2)^3}= a^3\cos^3\theta\) |
Al sustituir x = a sen θ, \( \displaystyle \sqrt{(a^2-x^2)^3}= a^3\cos^3\theta\) y d x = a cos θ d θ en la integral:
\( \displaystyle \int \frac{d\,x}{\sqrt{(a^2-x^2)^3}}=\int\frac{a\,cos\,\theta\,d\,\theta}{a^3\cos^3\theta}\)
Al simplificar factores de “a” y un factor cos θ:
\( \displaystyle \int \frac{d\,x}{\sqrt{(a^2-x^2)^3}}=\int\frac{d\,\theta}{a^2\cos^2\theta}\)
\( \displaystyle \int \frac{d\,x}{\sqrt{(a^2-x^2)^3}}=\frac{1}{a^2}\int\frac{d\,\theta}{\cos^2\theta}\)
\( \displaystyle \int \frac{d\,x}{\sqrt{(a^2-x^2)^3}}=\int \sec^2\theta\,d\,\theta\)
La integración conduce a:
\( \displaystyle \int \frac{d\,x}{\sqrt{(a^2-x^2)^3}}=\tan\,\theta+C\) (1)
Para volver a la variable original se debe definir tan θ en función de x.
Partiendo de la sustitución trigonométrica realizada:
x = a sen θ
\( \displaystyle \sin\theta=\frac{x}{a}=\frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}\)
Se construye un triángulo rectángulo cuyo cateto opuesto es x e hipotenusa es a. El lado faltante, se determina con la aplicación del teorema de Pitágoras.
Observe que la magnitud del lado faltante coincide con la expresión \( \displaystyle \sqrt{a^2-x^2}\) que se encuentra en el integrando.
A partir del triángulo obtenido, se define tan θ.
\( \displaystyle \tan\theta=\frac{u}{\sqrt{a^2-x^2}}\) (2)
Al sustituir la ecuación (2) en la ecuación (1):
\( \displaystyle \int \frac{d\,x}{\sqrt{(a^2-x^2)^3}}=\frac{1}{a^2}\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}+C\)
\( \displaystyle \int \frac{d\,x}{\sqrt{(a^2-x^2)^3}}=\frac{x}{a^2\sqrt{a^2-x^2}}+C\)
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