Descripción
Calcular \( \displaystyle \int \frac{d\,x}{\sqrt{(4\,x-x^2)^3}}\).
Referencias:
Ejemplo 115 del Filippis. Página 290.
Ejemplo 6.3 del Cortés. Octava Edición. Página 168.
Problema 70. Capítulo 32 del Ayres – Mendelson. Página 274.
Solución.
Puesto que 4 x – x2 no corresponde a la forma a2 – x2, además existe el término lineal en x, se aplica completación de cuadrados.
4 x – x2 = – x2 + 4 x
= – (x2 – 4 x)
= – (x2 – 4 x + 4 – 4)
= – [(x – 2)2 – 4]
= – (x – 2)2 + 4
= 4 – (x – 2)2
La integral planteada se escribe en la forma siguiente:
\( \displaystyle \int \frac{d\,x}{\sqrt{(4\,x-x^2)^3}}=\int \frac{d\,x}{\sqrt{[4-(x-2)^2]^3}}\)
El integrando tiene la forma \( \displaystyle\sqrt{a^2-u^2}\), se hace la sustitución:
| x – 2 = 2 sen θ | d x = 2 cos θ d θ | \( \sqrt{[4 – (x-2)^2]^3} = \sqrt{[4 – (2 \sin \theta)^2]^3} \) |
| \( \sqrt{[4 – (x-2)^2]^3} = \sqrt{(4 – 4 \sin^2 \theta)^3} \) | ||
| \( \sqrt{[4 – (x-2)^2]^3} = \sqrt{[4\,(1 – \sin^2 \theta)]^3} \) | ||
| \( \sqrt{[4 – (x-2)^2]^3} = \sqrt{(4\,\cos^2 \theta)^3} \) | ||
| \( \sqrt{[4 – (x-2)^2]^3} = 8\,\cos^3\theta \) |
Al sustituir x – 2 = 2 sen θ, d x = 2 cos θ d y \(\sqrt{[4-(x-2)^2]^3}= 8 \cos^3 \theta \) en la integral:
\( \displaystyle \int \frac{d\,x}{\sqrt{(4\,x-x^2)^3}}=\int \frac{2\cos\theta\,d\,\theta}{8\,\cos^3\theta}\)
Al simplificar los valores numéricos y el factor cos θ:
\( \displaystyle \int \frac{d\,x}{\sqrt{(4\,x-x^2)^3}}=\int \frac{d\,\theta}{4\,\cos^2\theta}\)
\( \displaystyle \int \frac{d\,x}{\sqrt{(4\,x-x^2)^3}}=\frac{1}{4}\int \frac{d\,\theta}{\cos^2\theta}\)
\( \displaystyle \int \frac{d\,x}{\sqrt{(4\,x-x^2)^3}}=\frac{1}{4}\int \sec^2\theta\,d\,\theta\)
La integración conduce a:
\( \displaystyle \int \frac{d\,x}{\sqrt{(4\,x-x^2)^3}}=\frac{1}{4}\tan\theta+C\) (1)
Para volver a la variable original se debe definir tan θ en función de x.
Partiendo de la sustitución trigonométrica realizada:
x – 2 = 2 sen θ
\( \displaystyle \sin\theta=\frac{x-2}{2}=\frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}\)
Se construye un triángulo rectángulo cuyo cateto opuesto es x – 2 e hipotenusa es 2. El lado faltante, se determina con la aplicación del teorema de Pitágoras.
Observe que la magnitud del lado faltante coincide con la expresión \( \displaystyle\sqrt{4-(x-2)^2}\) que se encuentra en el integrando.
A partir del triángulo obtenido, se define tan θ.
\( \displaystyle \tan\theta=\frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Cateto adyacente}}\)
\( \displaystyle \tan\theta=\frac{x-2}{\sqrt{4-(x-2)^2}}\) (2)
Al sustituir la ecuación (2) en la ecuación (1):
\( \displaystyle \int \frac{d\,x}{\sqrt{(4\,x-x^2)^3}}=\frac{1}{4}\left[\frac{x-2}{\sqrt{4-(x-2)^2}}\right]+C\)
\( \displaystyle \int \frac{d\,x}{\sqrt{(4\,x-x^2)^3}}=\frac{x-2}{4\,\sqrt{4-(x-2)^2}}+C\)
