Descripción
Función signo de x.
Definición de la función signo.
La función signo de x, denotada por sgn (x) es una función ramificada definida como:
sgn (x) se lee “signo de x”.
El resultado que se obtiene al calcular el signo de un número es 1 cuando el número es positivo ó – 1 cuando el número es negativo. El signo de cero es 0.
| sgn (2) = 1 | sgn (4.3) = 1 |
| sgn (1.999) = 1 | sgn (– 3) = – 1 |
| sgn (– 1.5) = – 1 | sgn (– 4.001) = – 1 |
| \( \text{sgn}\,(\frac{3}{4}) = 1 \) | \( \text{sgn}\,(-\frac{7}{3}) = -1 \) |
| sgn (π) = 1 | \( \text{sgn}\,(\sqrt{3}) = 1 \) |
| \( \text{sgn}\,(1+\sqrt{5}) = 1 \) | \( \text{sgn}\,(3-\sqrt{12}) = -1 \) |
| \( \text{sgn}\,(-2-\sqrt{7}) = -1 \) | \( \text{sgn}\left(\frac{6-5\,\sqrt{3}}{2}\right) = -1 \) |
Dominio de la función signo.
Dom f = ℝ
Gráfica de la función signo.
La función signo es una función ramificada, por lo tanto, para construir su gráfica se analiza cada rama por separado.
Intervalo x < 0: ( – ∞ , 0 ):
f (x) = – 1 (Función constante).
Obsérvese que el punto ( 0 , – 1 ) no pertenece a la gráfica de esta rama de la función (x < 0), por lo tanto dicho punto se ilustra como ○.
Punto x = 0:
f (0) = 0. Un punto, el origen ( 0 , 0 ).
Intervalo x > 0: ( 0 , + ∞ ):
f (x) = 1 (Función constante).
Obsérvese que el punto ( 0 , 1 ) no pertenece a la gráfica de esta rama de la función (x > 0), por lo tanto dicho punto se ilustra como ○.
Una vez analizada cada rama, se obtiene la gráfica siguiente para la función f (x) = sgn (x).
Función signo de x.
Rango de la función signo.
El rango está formado por los elementos – 1, 0 y 1.
Rgo f = { – 1 , 0 , 1 }
Comentario del autor.
Dada una expresión P (x), si definimos una función como f (x) = sgn [P (x)], la gráfica de la función es transformación de la gráfica de P (x), con lo cual, las partes positivas de la gráfica (por encima del eje de las x) de P (x) se convierten en 1, mientras que las partes negativas (por debajo del eje de las x) se convierten en – 1. Los ceros en la función P (x) permanecen iguales en la función f (x) = sgn [P (x)]. En los ejemplos siguientes se ilustran estas situaciones.
Ejemplo ilustrativo 1.
Si tenemos la función f (x) = x – 3, su gráfica se muestra a continuación.
f (x) = x – 3
Discriminemos la parte positiva de la función (azul), la cual se encuentra por encima del eje x y la negativa (roja), que se encuentra por debajo del eje x.
Para obtener la gráfica de la función signo correspondiente a la función f (x) = x – 3, esto es, f (x) = sgn (x – 3), las partes positivas de la gráfica (azul) se convierten en 1 y las negativas se convierten en – 1. El cero permanece igual en ambas. Se obtiene lo siguiente:
f (x) = sgn (x – 3)
Ejemplo ilustrativo 2.
Si tenemos la función f (x) = x2 – 2 x – 3, su gráfica se muestra a continuación.
f (x) = x2 – 2 x – 3
Discriminemos la parte positiva de la función (azul), la cual se encuentra por encima del eje x y la negativa (roja), que se encuentra por debajo del eje x.
Para obtener la gráfica de la función signo correspondiente a la función f (x) = x2 – 2 x – 3, esto es, f (x) = sgn (x2 – 2 x – 3), las partes positivas de la gráfica (azul) se convierten en 1 y las negativas se convierten en – 1. El cero permanece igual en ambas. Se obtiene lo siguiente:
f (x) = sgn (x2 – 2 x – 3)
Si la función P (x) es positiva en todo su dominio, entonces la gráfica de f (x) = sgn [P (x)] será una constante igual a 1, mientras que si la función P (x) es negativa en todo su dominio, entonces la gráfica de f (x) = sgn [P (x)] será equivalente a una función constante igual a – 1.
Ejemplo ilustrativo 3.
Si tenemos la función f (x) = x2 + 2 x + 3, su gráfica se muestra a continuación.
Puesto que la función es positiva en todo su dominio (su gráfica se encuentra por encima del eje x), la gráfica de la función signo correspondiente es:
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