Descripción
Entre los números reales positivos u y v cuya suma resulta en 50, halle la selección de u y de v que haga su producto P lo más grande posible.
Referencia:
Problema Resuelto 10. Capítulo 14 del Ayres – Mendelson. Quinta Edición. Página 109.
SOLUCIÓN DEL EJERCICIO.
Sean u e v los números buscados.
Suma de ambos números: S = u + v
Puesto que la suma es conocida, se tiene:
u + v = 50 (Ecuación 1)
La función objetivo es el producto de los números, que se expresa de la siguiente manera:
P = u v (Ecuación 2)
Es necesario expresar la función objetivo P en función de una sola variable. De la ecuación (1) se despeja la variable v:
v = 50 – u (Ecuación 3)
Se sustituye la ecuación (3) en la ecuación (2):
P (u) = u (50 – u)
P (u) = 50 u – u2
P (u) = – u2 + 50 u, 0 ≤ u ≤ 50 (Ecuación 4)
Se ilustrarán dos mecanismos para obtener el extremo de la función P (x).
Primer mecanismo de solución.
La función P (u) es una función cuadrática. Al comparar la ecuación (4) con
P (u) = a u2 + b u + c, se tiene que:
a = – 1, b = 50, c = 0
Siendo a = – 1 (a < 0), la función cuadrática es cóncava hacia abajo y por lo tanto presenta un máximo.
El valor de la abcisa que genera el punto máximo está dado por:
\( \displaystyle u=-\frac{b}{2\,a}\)
Al sustituir valores:
\( \displaystyle u=-\frac{50}{2\,(-1)}\)
\( \displaystyle u=-\frac{50}{-2}\)
u = 25
El correspondiente valor de v se obtiene mediante la sustitución de u = 25 en la ecuación (3):
v = 50 – 25
v = 25
Conclusión.
Los números buscados son:
u = 25
v = 25
Segundo mecanismo de solución.
Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.
Para un valor extremo del producto:
\( \displaystyle \frac{d\,P}{d\,u}=0\) (Condición 1)
Al derivar la ecuación (4):
\( \displaystyle \frac{d\,P}{d\,u}=-2\,u+50\) (Ecuación 5)
Al aplicar la condición (1) y la ecuación (5):
– 2 u + 50 = 0
Resolver la ecuación anterior con el objeto de determinar los valores críticos.
2 u = 50
u = 25
Valor crítico: u = 25.
Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.
Al derivar la ecuación (5):
\( \displaystyle \frac{d^2P}{d\,u^2}=-2\)
Al evaluar en u = 25:
\( \displaystyle \frac{d^2P}{d\,u^2}\,\bigg\vert_{u=25}=-2\)
Puesto que \( \displaystyle \frac{d^2P}{d\,u^2}\,\bigg\vert_{u=25}<0\), la función P (u) = – u2 + 50 u presenta un máximo relativo en u = 25.
El correspondiente valor de v se obtiene mediante la sustitución de u = 25 en la ecuación (3):
v = 50 – 25
v = 25
Finalmente, aplicamos el método tabular para determinar el extremo absoluto del producto. La aplicación del método tabular consiste en evaluar la función objetivo en cada valor crítico así como en los extremos del intervalo que representa el dominio de la función.
En u = 0:
P (0) = – (0)2 + 50 (0)
P (0) = 0
En u = 25:
P (25) = – (25)2 + 50 (25)
P (25) = – 625 + 1250
P (25) = 625
En u = 50:
P (50) = – (50)2 + 50 (50)
P (50) = – 2500 + 2500
P (50) = 0
|
u |
0 |
25 |
50 |
|
P (u) |
0 |
625 |
0 |
El valor máximo del producto ocurre en u = 25.
El valor máximo del producto es: Pmax = 625.
Conclusión.
Los números buscados son:
u = 25
v = 25
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