Descripción
Un cuerpo de 200 g está unido a un resorte horizontal, sin rozamiento, sobre una mesa y a lo largo del eje OX, con una frecuencia angular ω = 8.00 rad/s. En el instante t = 0 el alargamiento del resorte es de 4.0 cm respecto a la posición de equilibrio y el cuerpo lleva una velocidad de – 20 cm/s. Determina:
a) La amplitud y la fase inicial del M.A.S. realizado por el cuerpo.
b) La constante elástica del resorte y la energía mecánica del sistema.
Referencia:
Primer Examen Parcial. Profesor Willians Medina. Universidad de Oriente. Núcleo de Anzoátegui. 08/05/2026.
Solución.
Masa; m = 200 g = 0.2 kg
Frecuencia angular: ω = 8.00 rad/s
Para t = 0: x0 = 4.0 cm = 0.04 m
v0 = – 20 cm/s = 0.20 m/s
a) Amplitud: A = ?
Fase inicial: ϕ = ?
b) Constante elástica del resorte: k = ?
Energía mecánica del sistema: E = ?
a) Amplitud del movimiento.
\(\displaystyle A=\sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2}\) (1)
Al sustituir valores en la ecuación (1):
\(\displaystyle A=\sqrt{(0.04\,\text{m})^2+\left(\frac{-0.20\,\text{m/s}}{8.00\,\text{rad/s}}\right)^2}\)
\(\displaystyle A=\sqrt{0.0016\,\text{m}^2+0.000625\,\text{m}^2}\)
\(\displaystyle A=\sqrt{0.002225\,\text{m}^2}\)
A = 0.0472 m
Ángulo de fase.
Puesto que x0 > 0 y v0 < 0:
\(\displaystyle \phi=\tan^{-1}\left(-\frac{v_0}{\omega\,x_0}\right)\) (2)
Al sustituir valores en la ecuación (2):
\(\displaystyle \phi=\tan^{-1}\left[-\frac{(-0.20\,\text{m/s})}{8.00\,\text{rad/s}\times0.04\,\text{m}}\right]\)
ϕ = tan–1 (0.625)
ϕ = 0.5586 rad
b) Constante elástica del resorte.
\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\) (3)
Al despejar la constante del resorte de la ecuación (3):
k = ω2m (4)
Al sustituir valores en la ecuación (4):
k = (8.00 rad/s)2(0.2 kg)
k =12.8 N/m
Energía mecánica.
\( E=\frac{1}{2}k\,A^2\) (5)
Al sustituir valores en la ecuación (5):
\( E=\frac{1}{2}\times12.8\,\text{N/m}\,(0.0472\,\text{m})^2\)
E = 0.0142 J
