Descripción
Una mezcla formada por 80 kgmol/h de etano, 50 kgmol/h de propano y 225 kgmol/h de isobutano se encuentra a 13.6 atm y 42°C. ¿Cuál será la cantidad de vapor formado si se somete la mezcla a una destilación instantánea?
Referencia: Ejemplo 9 del Barderas. UNAM. Página 43.
Solución.
Componentes: Etano (1); Propano (2); Isobutano (3)
Presión: P = 13.6 atm = 199.87 psia
Temperatura: T = 42°C = 107.6°F
Flujo másico de cada corriente: n1 = 80 kgmol/h, n2 = 50 kgmol/h, n3 = 225 kgmol/h
En primer lugar se determina la composición de la corriente de alimentación:
nT = n1 + n2 + n3
nT = 80 kgmol/h + 50 kgmol/h + 225 kgmol/h
nT = 355 kgmol/h
\( \displaystyle x_1=\frac{n_1}{n_t}=\frac{80\,\text{kmol/h}}{355\,\text{kmol/h}}=0.2254\)
\( \displaystyle x_2=\frac{n_2}{n_t}=\frac{50\,\text{kmol/h}}{355\,\text{kmol/h}}=0.1408\)
\( \displaystyle x_3=\frac{n_3}{n_t}=\frac{225\,\text{kmol/h}}{355\,\text{kmol/h}}=0.6338\)
Para averiguar el estado termodinámico de la mezcla se aplica el siguiente criterio:
Utilizar f (V) como indicador preciso.
\( \displaystyle f\,(V)=\sum\frac{Z_i\,(K_i-1)}{1+V\,(K_i-1)}\)
Si f (0) < 0 → Líquido sub-enfriado.
Si f (0) = 0 → Líquido en su Punto de Burbuja.
Si f (1) = 0 → Vapor en su Punto de Rocío.
Si f (1) > 0 → Vapor sobrecalentado.
Si no se cumple alguna de estas condiciones, la corriente será una mezcla de líquido saturado + vapor saturado (Coexistencia de ambas fases en equilibrio).
A P = 199.87 psia y T = 107.6°F, de los diagramas de DePriester:
K1 = 3.05; K2 = 1.1; K3 = 0.495
\( \displaystyle f\,(V)=\sum\frac{z_i\,(K_i-1)}{1+V\,(K_i-1)}\)
Para una mezcla de tres componentes:
\( \displaystyle f\,(V)=\frac{z_1\,(K_1-1)}{1+V\,(K_1-1)}+\frac{z_2\,(K_2-1)}{1+V\,(K_2-1)}+\frac{z_3\,(K_3-1)}{1+V\,(K_3-1)}\)
\( \displaystyle f\,(V)=\frac{0.2254\,(3.05-1)}{1+V\,(3.05-1)}+\frac{0.1408\,(1.1-1)}{1+V\,(1.1-1)}+\frac{0.6338\,(0.495-1)}{1+V\,(0.495-1)}\)
\( \displaystyle f\,(V)=\frac{0.46207}{1+2.05\,V}+\frac{0.01408}{1+0.1\,V}-\frac{0.320069}{1-0.505\,V}\)
Evaluación de las condiciones límite:
f (0) = 0.46207 + 0.01408 – 0.320069 = 0.156081 > 0 → Criterio no concluyente.
\( \displaystyle f\,(1)=\frac{0.46207}{1+2.05}+\frac{0.01408}{1+0.1}-\frac{0.320069}{1-0.505}\)
\( \displaystyle f\,(1)=\frac{0.46207}{3.05}+\frac{0.01408}{1.1}-\frac{0.320069}{0.495}\)
f (1) = 0.151498 + 0.0128 – 0.646604 = –0.482306 < 0 → Criterio no concluyente.
Se trata de una mezcla saturada de líquido + vapor en equilibrio.
Cálculo de la fracción de vapor.
f (V) = 0
\( \displaystyle \frac{0.46207}{1+2.05\,V}+\frac{0.01408}{1+0.1\,V}-\frac{0.320069}{1-0.505\,V}=0\)
Al resolver la ecuación anterior se obtiene: V = 0.1790.
Cantidad de vapor formado:
V = 0.1790 × 355 kgmol/h
V = 63.54 kgmol/h
Cálculo de las composiciones del líquido y el vapor.
Líquido: \( \displaystyle x_i=\frac{z_i}{1+V\,(K_i-1)}\)
\( \displaystyle x_1=\frac{z_1}{1+V\,(K_1-1)}=\frac{0.2254}{1+0.1790\,(3.05-1)}=0.164893\)
\( \displaystyle x_2=\frac{z_2}{1+V\,(K_2-1)}=\frac{0.1408}{1+0.1790\,(1.1-1)}=0.138324\)
\( \displaystyle x_3=\frac{z_3}{1+V\,(K_3-1)}=\frac{0.6338}{1+0.1790\,(0.495-1)}=0.696786\)
Vapor: yi = Ki xi
y1 = K1 x1 = 3.05×0.164893 = 0.502924
y2 = K2 x2 = 1.1×0.138324 = 0.152156
y3 = K3 x3 = 0.495×0.696786 = 0.344909
Resumen:
Fracción de vapor: V = 0.1790 (17.90%).
Composición de las fases en equilibrio:
Líquido: x1 = 0.164893; x2 = 0.138324; x3 = 0.696786.
Vapor: y1 = 0.502924; y2 = 0.152156; y3 = 0.344909.
Aplicación del Método de Newton para el cálculo de la fracción de vapor.
a) V1 = 0.5
b) \( \displaystyle f\,(V)=\sum\frac{Z_i\,(K_i-1)}{1+V\,(K_i-1)}\)
\( \displaystyle f\,(V)=\frac{0.46207}{1+2.05\,V}+\frac{0.01408}{1+0.1\,V}-\frac{0.320069}{1-0.505\,V}\)
\( \displaystyle f\,(0.5)=\frac{0.46207}{1+2.05\,(0.5)}+\frac{0.01408}{1+0.1\,(0.5)}-\frac{0.320069}{1-0.505\,(0.5)}\)
f (0.5) = 0.228183 + 0.013410 + (– 0.428186)
f (0.5) = – 0.186593
c) \( \displaystyle f´\,(V)=-\sum\frac{z_i\,(K_i-1)^2}{[1+V\,(K_i-1)]^2}\)
\( \displaystyle f´\,(0.5)=-\frac{(0.228183)^2}{0.2254}-\frac{(0.013410)^2}{0.1408}-\frac{(-0.428186)^2}{0.6338}\)
f ´(0.5) = – 0.231000 – 0.001277 – 0.289276
f ´(0.5) = – 0.521553
d) \( \displaystyle V_2=V_1-\frac{f\,(V_1)}{f´\,(V_1)}\)
\( \displaystyle V_2=V_1-\frac{-0.186593}{-0.521553}\)
V2 = 0.5 – 0.357764
V2 = 0.1422
Las iteraciones siguientes se resumen en la tabla mostrada a continuación:
|
Iteración |
f (V) | f ´(V) | V |
|
1 |
– 0.186593 |
– 0.521553 |
0.1422 |
|
2 |
0.026826 |
– 0.756874 |
0.1776 |
|
3 |
0.000971 |
– 0.705488 |
0.1790 |
|
4 |
– 0.000015 |
– 0.703656 |
0.1790 |
Solución: V = 0.1790 moles.
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