Descripción
Oscilaciones en un circuito LC
Cuando se conecta un capacitor con un inductor, como se ilustra en la figura 1, la combinación es un circuito LC. Si el capacitor está inicialmente con carga y en ese momento se cierra el interruptor, tanto la corriente en el circuito como la carga en el capacitor oscilan entre valores máximos positivos y negativos. Si la resistencia del circuito es igual a cero, no existe transformación de energía en energía interna. En la explicación siguiente la resistencia del circuito es despreciable. También se supone una situación ideal donde no se radia energía hacia afuera del circuito.
Suponga que el capacitor tiene una carga inicial Qmáx (carga máxima) y que el interruptor se abre en t < 0 y después se cierra en t = 0.
Figura 1. Circuito LC simple. El capacitor tiene carga inicial Qmáx, y el interruptor se abre en t < 0 y después se cierra en t = 0.
Las oscilaciones del circuito LC son electromagnéticamente similares a las oscilaciones mecánicas de un sistema masa – resorte. Mucho de lo que se explicó allí es aplicable a las oscilaciones LC.
Aplicamos la segunda ley de Kirchhoff (ley de voltajes), la cual establece que la suma algebraica de las caídas de tensión en un lazo cerrado es igual a cero.
En el circuito ideal sin resistencia, descrito en párrafos anteriores, el voltaje en el inductor (VL) y el voltaje en el capacitor (VC) deben sumarse con resultado cero.
VL + VC = 0 (1)
Sabemos por las leyes del electromagnetismo que
\(\displaystyle V_L=L\frac{d\,I}{d\,t}\) (2)
y por definición:
\(\displaystyle V_C=\frac{Q}{C}\) (3)
Al sustituir las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1):
\(\displaystyle L\frac{d\,I}{d\,t}+\frac{Q}{C}=0\) (4)
La corriente eléctrica I se define como la tasa de flujo de carga q a través del tiempo:
\(\displaystyle I\,(t)=\frac{d\,Q}{d\,t}\) (5)
Por lo tanto, la derivada de la corriente respecto al tiempo es la segunda derivada de la carga:
\(\displaystyle \frac{d\,I}{d\,t}=\frac{d^2Q}{d\,t^2}\) (6)
Al sustituir la ecuación (6) en la ecuación (4):
\(\displaystyle L\frac{d^2Q}{d\,t^2}+\frac{Q}{C}=0\)
\(\displaystyle L\frac{d^2Q}{d\,t^2}+\frac{1}{C}Q=0\)
Para llevarla a su forma estándar de un oscilador armónico simple, dividimos toda la ecuación por la inductancia L:\(\displaystyle \frac{d^2Q}{d\,t^2}+\frac{1}{L\,C}Q=0\) (7)
Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, homogénea y con coeficientes constantes.
Si definimos la frecuencia angular natural del circuito como \(\displaystyle \omega=\frac{1}{\sqrt{L\,C}}\), la ecuación se puede escribir de forma compacta:
\(\displaystyle \frac{d^2Q}{d\,t^2}+\omega^2Q=0\) (8)
La cual corresponde a un oscilador armónico simple.
La solución general de la ecuación (8) describe un comportamiento oscilatorio senoidal para la carga:
Q (t) = Qmáx cos (ω t + ϕ) (9)
Corriente en el circuito en función del tiempo.
Podemos obtener la intensidad de corriente en el circuito diferenciando la ecuación (9) respecto del tiempo:
\(\displaystyle i=\frac{d\,Q}{d\,t}\)
I (t) = – Qmáx ω sen (ω t + ϕ) (10)
Corriente máxima.
El valor máximo de la magnitud de la corriente es
Imáx = Qmáx ω (10)
