Descripción
Un oscilador armónico amortiguado, cuya frecuencia angular natural es ω0 = 15 rad/s y cuyo parámetro de amortiguamiento es λ = 9 s−1, se encuentra inicialmente en reposo en la posición de equilibrio. En el instante t = 0 recibe un impulso que lo pone en movimiento con una velocidad inicial v0 = 60 cm/s.
Para este sistema se pide:
(a) Expresar la elongación del oscilador en función del tiempo.
(b) Calcular el máximo desplazamiento que experimenta el oscilador a partir de su posición de equilibrio.
(c) Calcular el tiempo que deberá transcurrir para que la amplitud de las oscilaciones amortiguadas se reduzca a un 0.1% del valor máximo anteriormente calculado.
Referencia: Examen de Reparación. Prof. Willians Medina. Universidad de Oriente. Núcleo de Anzoátegui. Venezuela. Periodo III-2026.
Solución.
Frecuencia angular natural: ω0 = 15 rad/s
Parámetro de amortiguamiento: λ = 9 s−1
Posición inicial: x0 = 0
Velocidad inicial: v0 = 60 cm/s = 0.60 m/s
Tipo de oscilación.
λ2 – ω02 = (9)2 – (15)2
λ2 – ω02 = 81 – 225
λ2 – ω02 = – 144
λ2 – ω02 < 0 (Movimiento subamortiguado).
Frecuencia angular de oscilación.
\(\displaystyle \omega = \sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}\)
\(\displaystyle \omega = \sqrt{144}\)
ω = 12 rad/s
a) Ecuación del movimiento.
x (t) = A e– λ t cos (ω t + ϕ)
Amplitud.
\(\displaystyle A = \sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0+x_0\lambda}{\omega}\right)^2}\)
Para x0 = 0:
\(\displaystyle A = \bigg\vert\frac{v_0}{\omega}\bigg\vert\)
Ángulo de fase.
v0 + x0 λ = 60 + 0 × 9
v0 + x0 λ = 60 + 0
v0 + x0 λ = 60
Puesto que x0 = 0 y v0 + x0 λ < 0:
\(\displaystyle \phi = \frac{\pi}{2}\)
Amplitud.
\(\displaystyle A = \bigg\vert\frac{0.60\,\text{m/s}}{12\,\text{rad/s}}\bigg\vert\)
A = 0.05 m
Al sustituir valores en la ecuación de movimiento:
\(\displaystyle x\,(t) = 0.05\,e^{-9\,t}\cos\,\left(12\,t-\frac{\pi}{2}\right)\)
x (t) = 0.05 e– 9 t sen (12 t – 1.5718) (1)
En la figura siguiente se ilustra la gráfica de la posición de la partícula en función del tiempo.
Forma alterna de la ecuación de movimiento.
\(\displaystyle x\,(t) = \bigg\vert\frac{v_0}{\omega}\bigg\vert\,e^{-\lambda\,t}\sin\,(\omega\,t)\)
Al sustituir valores:
\(\displaystyle x\,(t) = \bigg\vert\frac{0.6}{12}\bigg\vert\,e^{-9\,t}\sin\,(12\,t)\)
x (t) = 0.05 e– 9 t sen (12 t)
b) Tiempo en el cual la elongación es máxima.
\(\displaystyle t = \frac{1}{\omega}\tan^{-1}\left[-\frac{v_0\omega}{x_0(\omega^2-\lambda^2)-v_0\lambda}\right]\)
Para x0 = 0:
\(\displaystyle t = \frac{1}{\omega}\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{\lambda}\right)\)
\(\displaystyle t = \frac{1}{12}\tan^{-1}\left(\frac{12}{9}\right)\)
t = 8.3333×10–2 tan–1 (1.3333)
t = 8.3333×10–2 (0.9273)
t = 0.0773 s
Desplazamiento máximo.
xmax = x (0.0773 s)
Al sustituir en la ecuación (1):
xmax = 0.05 e– 9 (0.0773) cos [12 (0.0773) – 1.5718]
xmax = 0.05 e– 0.6957 cos (0.9276 – 1.5718)
xmax = 0.05 (0.4987) cos (– 0.6432)
xmax = 0.0249 (0.8001)
xmax = 0.02 m
c) Amplitud.
A (t) = A0 e – λ t
A (t) = 0.05 e – 9 t
Si A = 0.001 (0.02) = 0.00002:
0.00002 = 0.05 e – 9 t
\(\displaystyle e^{-9\,t} = \frac{0.00002}{0.05}\)
e – 9 t = 0.0004
– 9 t = ln 0.0004
\(\displaystyle t = \frac{\ln 0.0004}{-9}\)
t = 0.869 s
