Descripción
La función de onda para una onda sobre una cuerda tensa es
\(\displaystyle y\,(x,t)=(0.350\,\text{m})\,\sin\,(10\,\pi\,t-3\,\pi\,x+\pi/4)\)
donde x esta en metros y t en segundos. a) ¿Cuál es la rapidez promedio a la que se transmite la energía a lo largo de la cuerda si la densidad de masa lineal es de 75.0 g/m? b) ¿Cuál es la energía contenida en cada ciclo de la onda?
Referencias:
Problema 38. Sección 16.5 del Serway – Jewett. Séptima Edición. Página 470.
Tercer Examen Parcial. Prof. Willians Medina. Universidad de Oriente. Núcleo de Anzoátegui. Venezuela. Periodo III-2025.
Solución.
De la ecuación de la onda \(\displaystyle y\,(x,t)=(0.350\,\text{m})\,\sin\,(10\,\pi\,t-3\,\pi\,x+\pi/4)\), se tiene:
Amplitud: A = 0.350 m
Número de onda angular: κ = 3 π rad/m
Frecuencia angular: ω = 10 π rad/s
Densidad de masa lineal: μ = 75.0 g/m = 0.075 kg/m
a) Potencia.
\(\displaystyle P = \frac{1}{2}\mu\,\omega^2A^2v\) (1)
Rapidez de la onda.
\(\displaystyle v = \frac{\omega}{\kappa}\) (2)
Al sustituir valores en la ecuación (2):
\(\displaystyle v = \frac{10\,\pi\,\text{rad/s}}{3\,\pi\,\text{rad/m}}\)
v = 3.3333 m/s
Al sustituir valores en la ecuación (1):
\(\displaystyle P = \frac{1}{2}\times 0.075\,\text{kg/m}\,(10\,\pi\,\text{rad/s})^2(0.350\,\text{m})^2\times 3.3333\,\text{m/s} \)
P = 15.1 W
b) Energía por ciclo.
\(\displaystyle E_{\lambda} = \frac{1}{2}\mu\,\omega^2A^2\lambda\) (4)
Longitud de onda.
\(\displaystyle \kappa = \frac{2\,\pi}{\lambda}\)
\(\displaystyle \lambda = \frac{2\,\pi}{\kappa}\) (3)
Al sustituir valores en la ecuación (2):
\(\displaystyle \lambda = \frac{2\,\pi}{3\,\pi\,\text{rad/m}}\)
λ = 0.6667 m
Al sustituir valores en la ecuación (4):
\(\displaystyle E_{\lambda} = \frac{1}{2}\times 0.075\,\text{kg/m}\,(10\,\pi\,\text{rad/s})^2(0.350\,\text{m})^2\times 0.6667\,\text{m} \)
Eλ = 3.02 J
