Descripción
Demostrar que la función de onda y ( x , t ) = ln [b (x – v t)] es una solución de la ecuación \( \displaystyle \frac{\partial^2y}{\partial\,x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2y}{\partial\,t^2}\), donde b es una constante.
Referencias:
Problema 43. Sección 16.6 del Serway – Jewett. Séptima Edición. Página 471.
Tercer Examen Parcial. Prof. Willians Medina. Universidad de Oriente. Núcleo de Anzoátegui. Venezuela. Periodo III-2026.
Solución.
Ecuación diferencial.
\( \displaystyle \frac{\partial^2y}{\partial\,x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2y}{\partial\,t^2}\) (1)
Solución de la ecuación diferencial:
y ( x , t ) = ln [b (x – v t)]
y ( x , t ) = ln b + ln (x – v t) (2)
Primera derivada parcial de y con respecto a x.
Al derivar la ecuación (2) con respecto a x:
\( \displaystyle \frac{\partial\,y}{\partial\,x}=\frac{1}{x-v\,t}\) (3)
Segunda derivada parcial de y con respecto a x.
Al derivar la ecuación (3) con respecto a x:
\( \displaystyle \frac{\partial^2y}{\partial\,x^2}=-\frac{1}{(x-v\,t)^2}\) (4)
Primera derivada parcial de y con respecto a t.
Al derivar la ecuación (2) con respecto a t:
\( \displaystyle \frac{\partial\,y}{\partial\,t}=-\frac{v}{x-v\,t}\) (5)
Segunda derivada parcial de y con respecto a t.
Al derivar la ecuación (3) con respecto a t:
\( \displaystyle \frac{\partial^2y}{\partial\,x^2}=-\frac{v^2}{(x-v\,t)^2}\)
\( \displaystyle \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2y}{\partial\,x^2}=-\frac{1}{(x-v\,t)^2}\) (6)
Al comparar las ecuaciones (4) y (6), se tiene que:
\( \displaystyle \frac{\partial^2y}{\partial\,x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2y}{\partial\,t^2}\)
Queda demostrado que y ( x , t ) = ln [b (x – v t)] es solución de la ecuación diferencial \( \displaystyle \frac{\partial^2y}{\partial\,x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2y}{\partial\,t^2}\).
