Descripción
Una distribución de carga de simetría esférica tiene una densidad de carga expresada por \( \displaystyle \rho = \frac{a}{r} \), siendo a una constante. Determine la carga total de la esfera.
Solución.
Para una esfera con carga distribuida, la carga total se determina a partir de la ecuación:
\( \displaystyle q = \int_{r_0}^{r_1} \rho\,(r)\,(4\,\pi\,r^2\,d\,r) \)
Al sustituir la densidad de carga volumétrica y los límites de integración correspondientes:
\( \displaystyle q = \int_{0}^{R} \frac{a}{r}(4\,\pi\,r^2\,d\,r) \)
\( \displaystyle q = 4\,\pi\,a\int_{0}^{R} r\,d\,r \)
La integración conduce a:
\( \displaystyle q = 4\,\pi\,a\,\left(\frac{r^2}{2}\bigg\vert_0^R\right) \)
Al aplicar el teorema fundamental del cálculo:
\( \displaystyle q = 4\,\pi\,a\,\left(\frac{R^2}{2}-0\right) \)
\( \displaystyle q = 4\,\pi\,a\,\left(\frac{R^2}{2}\right) \)
q = 2 π a R2 Unidades de carga eléctrica.
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