Descripción
Un disco de radio R tiene una distribución de carga superficial dada por \( \displaystyle \sigma=\frac{\sigma_0\,r^2}{R^2}\), donde σ0 es una constante y r es la distancia desde el centro del disco. Determinar la carga total del disco.
Referencias:
Guía de Ejercicios Prof. Amenayda Figueredo. Universidad de Oriente. Núcleo de Anzoátegui. Periodo II-90.
Problema 53 del Tipler – Mosca. Sexta Edición. Página 797.
Solución.
Para un disco con carga distribuida, la carga total se determina a partir de la ecuación
\( \displaystyle q = \int_{r_0}^{r_1}\sigma\,(r)\,(2\,\pi\,r\,d\,r) \)
Al sustituir la densidad superficial de carga y los límites de integración correspondientes:
\( \displaystyle q = \int_{0}^{R}\frac{\sigma_0\,r^2}{R^2}(2\,\pi\,r\,d\,r) \)
\( \displaystyle q = \frac{2\,\pi\,\sigma_0}{R^2}\int_{0}^{R}r^3d\,r \)
La integración conduce a:
\( \displaystyle q = \frac{2\,\pi\,\sigma_0}{R^2}\left(\frac{r^4}{4}\bigg\vert_0^R\right) \)
Al aplicar el teorema fundamental del cálculo:
\( \displaystyle q = \frac{2\,\pi\,\sigma_0}{R^2}\left(\frac{R^4}{4}-0\right) \)
\( \displaystyle q = \frac{2\,\pi\,\sigma_0}{R^2}\left(\frac{R^4}{4}\right) \)
\( \displaystyle q = \frac{1}{2}\pi\,\sigma_0\,R^2 \) Unidades de carga eléctrica.
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