Descripción
Flujo a través de una sección de corona circular. Un fluido incompresible fluye en estado estacionario a través de la región comprendida entre dos cilindros circulares coaxiales de radios k R y R.
Determinar.
a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento.
b) Distribución de velocidad.
c) Velocidad máxima.
d) Velocidad media.
e) Velocidad volumétrica de flujo.
f) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido interior.
g) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido exterior.
Referencia:
Sección 2.4 del Bird. Página 2.18.
Solución.
El ejercicio propuesto difiere del Ejercicio 1 sólo en las condiciones de borde:
Para r = k R: vz = 0 y para r = R: vz = 0.
Condiciones:
Estado estacionario.
Flujo laminar.
Propiedades del fluido constantes (ρ, μ).
Fluido Newtoniano.
Efectos de borde despreciables.
Flujo longitudinal (en dirección z): vr = 0, vθ = 0, vz ≠ 0.
La velocidad varía en función de r: vz = vz (r).
Balance de cantidad de movimiento.
2 π r L τrz | r – 2 π r L τrz | r + ∆ r + 2 π r ∆ r L ρ gz + 2 π r ∆ r (p0 – pL) = 0
gz es la componente gravitacional en la dirección del flujo. En este caso gz = g.
2 π r L τrz | r – 2 π r L τrz | r + ∆ r + 2 π r ∆ r L ρ g + 2 π r ∆ r (p0 – pL) = 0 (1)
Al dividir entre 2 π L:
\( \displaystyle r\,\tau_{rz} \big|_{r} – r\,\tau_{rz} \big|_{r + \Delta\,r} + r\,\Delta\,r \,\rho\,g + r\,\Delta\,r \frac{(p_{0} – p_{L})}{L} = 0 \)
\( \displaystyle r\,\tau_{rz} \big|_{r} – r\,\tau_{rz} \big|_{r + \Delta\,r} + \left(\rho\,g + \frac{p_{0} – p_{L}}{L}\right) r\,\Delta\,r = 0 \)
Sea \( \displaystyle \rho\,g + \frac{p_{0} – p_{L}}{L} = \frac{P_0-P_L}{L} \)
\( \displaystyle r\,\tau_{rz} \big|_{r} – r\,\tau_{rz} \big|_{r + \Delta\,r} + \left( \frac{P_{0} – P_{L}}{L}\right) r\,\Delta\,r = 0 \)
\( \displaystyle r\,\tau_{rz} \big|_{r} – r\,\tau_{rz} \big|_{r + \Delta\,r} =- \left( \frac{P_{0} – P_{L}}{L}\right) r\,\Delta\,r \)
Al multiplicar por (– 1) la ecuación anterior:
\( \displaystyle r\,\tau_{rz} \big|_{r + \Delta\,r} – r\,\tau_{rz} \big|_{r} = \left( \frac{P_{0} – P_{L}}{L}\right) r\,\Delta\,r \)
\( \displaystyle \frac{r\,\tau_{rz} \big|_{r + \Delta\,r} – r\,\tau_{rz} \big|_{r}}{\Delta\,r} = \left( \frac{P_{0} – P_{L}}{L}\right) r \)
Tomando el límite cuando ∆ r → 0 en la ecuación anterior:
\( \displaystyle \lim_{\Delta\,r \to 0}\frac{r\,\tau_{rz} \big|_{r + \Delta\,r} – r\,\tau_{rz} \big|_{r}}{\Delta\,r} = \lim_{\Delta\,r \to 0} \left( \frac{P_{0} – P_{L}}{L}\right) r \)
\( \displaystyle \lim_{\Delta\,r \to 0}\frac{r\,\tau_{rz} \big|_{r + \Delta\,r} – r\,\tau_{rz} \big|_{r}}{\Delta\,r} = \left( \frac{P_{0} – P_{L}}{L}\right) r \)
Aplicando la definición de derivada:
\( \displaystyle \frac{d}{d\,r}(r\,\tau_{rz})=\left(\frac{P_0-P_L}{L}\right) r \)
Al separar variables en la ecuación anterior:
\( \displaystyle d\,(r\,\tau_{rz})=\left(\frac{P_0-P_L}{L}\right) r\,d\,r \)
Integrando ambos miembros de la ecuación:
\( \displaystyle \int d\,(r\,\tau_{rz})=\int \left(\frac{P_0-P_L}{L}\right) r\,d\,r \)
\( \displaystyle \int d\,(r\,\tau_{rz})=\left(\frac{P_0-P_L}{L}\right)\int r\,d\,r \)
La integración conduce a:
\( \displaystyle r\,\tau_{rz} = \left(\frac{P_0 – P_L}{L} \right) \left(\frac{r^2}{2}\right) + C_1 \)
\( \displaystyle r\,\tau_{rz} = \left( \frac{P_0 – P_L}{2\,L} \right) r^2 + C_1 \)
\( \displaystyle \tau_{rz} = \left(\frac{P_0 – P_L}{2\,L} \right) r + \frac{C_1}{r} \) (2)
La constante C1 no puede determinarse de forma inmediata, puesto que no disponemos de información acerca de la densidad de flujo de cantidad de movimiento en ninguna de las dos superficies x = k R ó x = R.
Fluido Newtoniano:
\( \displaystyle \tau_{rz} = -\mu \frac{d\,v_z}{d\,r} \) (3)
Al sustituir la ecuación (3) en la ecuación (2):
\( \displaystyle -\mu \frac{d\,v_z}{d\,r} = \left(\frac{P_0 – P_L}{2\,L} \right) r + \frac{C_1}{r}\)
Al separar las variables en la ecuación anterior:
\( \displaystyle d\,v_z = \left[-\left(\frac{P_0 – P_L}{2\,\mu\,L} \right) r – \frac{C_1}{\mu\,r}\right]\,d\,r \)
Al integrar ambos miembros de la ecuación:
\( \displaystyle \int d\,v_z = \int \left[-\left(\frac{P_0 – P_L}{2\,\mu\,L} \right) r – \frac{C_1}{\mu\,r}\right]\,d\,r \)
\( \displaystyle \int d\,v_z = \int -\left(\frac{P_0 – P_L}{2\,\mu\,L} \right)\,r\,d\,r – \int \frac{C_1}{\mu}\frac{d\,r}{r} \)
\( \displaystyle \int d\,v_z = -\left(\frac{P_0 – P_L}{2\,\mu\,L} \right) \int r\,d\,r – \frac{C_1}{\mu}\int \frac{d\,r}{r} \)
La integración conduce a:
\( \displaystyle v_z = -\left(\frac{P_0 – P_L}{2\,\mu\,L} \right) \left(\frac{r^2}{2}\right) -\frac{C_1}{\mu}\ln r + C_2 \)
\( \displaystyle v_z = -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) r^2 -\frac{C_1}{\mu}\ln r + C_2 \) (4)
Condición de borde: Para r = k R, vz = 0.
Al sustituir en la ecuación (4):
\( \displaystyle 0 = -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) (k\,R)^2 -\frac{C_1}{\mu}\ln (k\,R) + C_2 \)
\( \displaystyle 0 = -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) k^2R^2 -\frac{C_1}{\mu}\ln (k\,R) + C_2 \) (5)
Condición de borde: Para r = R: vz = 0.
Al sustituir en la ecuación (4):
\( \displaystyle 0 = -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) (R)^2 -\frac{C_1}{\mu}\ln (R) + C_2 \)
\( \displaystyle 0 = -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2 – \frac{C_1}{\mu}\ln R + C_2 \) (6)
Al restar las ecuaciones (5) y (6):
\( \displaystyle \left[-\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) k^2R^2 – \frac{C_1}{\mu}\ln (k\,R) + C_2\right]- \left[-\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2 – \frac{C_1}{\mu}\ln R + C_2\right] = 0 \)
\( \displaystyle -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) k^2R^2 – \frac{C_1}{\mu}\ln (k\,R) + C_2 + \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2 + \frac{C_1}{\mu}\ln R – C_2 = 0 \)
\( \displaystyle -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) k^2R^2 -\frac{C_1}{\mu}\ln (k\,R) + \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2 + \frac{C_1}{\mu}\ln R = 0 \)
\( \displaystyle \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2(1-k^2) + \frac{C_1}{\mu}[\ln R – \ln (k\,R)] = 0 \)
Por propiedades de los logaritmos: ln (k R) = ln k + ln R
\( \displaystyle \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2(1-k^2) + \frac{C_1}{\mu}(\ln R – \ln k – \ln R) = 0 \)
\( \displaystyle \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2(1-k^2) + \frac{C_1}{\mu}(- \ln k ) = 0 \)
\( \displaystyle \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2(1-k^2) + \frac{C_1}{\mu} \ln (1/k) = 0 \)
Al simplificar μ:
\( \displaystyle \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,L} \right) R^2(1-k^2) + C_1 \ln (1/k) = 0 \)
Al despejar C1 de la ecuación anterior:
\( \displaystyle C_1 = – \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,L} \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right) \) (7)
Al sustituir C1 en la ecuación (6) y despejar C2:
\( \displaystyle 0 = -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2 – \frac{\left[- \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,L} \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\right]}{\mu}\ln R + C_2 \)
\( \displaystyle 0 = -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2 + \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\ln R + C_2 \)
\( \displaystyle C_2 = \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2 – \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\ln R \) (8)
Al sustituir las ecuaciones (7) y (8) en la ecuación (4), la distribución de velocidad se expresa de la siguiente manera:
\( \displaystyle v_z = -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) r^2 -\frac{\left[- \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,L}\left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\right]}{\mu}\ln r + \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2 – \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}\ln R \)
\( \displaystyle v_z = -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) r^2 + \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\ln r + \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2 – \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\ln R \)
\( \displaystyle v_z = \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) (R^2-r^2) + \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)(\ln r – \ln R) \)
\( \displaystyle v_z = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left(1-\frac{r^2}{R^2}\right) + \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\ln \left(\frac{r}{R}\right) \)
\( \displaystyle v_z = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right] + \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\ln \left(\frac{r}{R}\right) \)
\( \displaystyle v_z = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2 + \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\ln \left(\frac{r}{R}\right)\right] \) (9)
a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento.
Al sustituir la ecuación (7) en la ecuación (2):
\( \displaystyle \tau_{rz} = \left(\frac{P_0 – P_L}{2\,L} \right) r + \frac{\left[- \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,L} \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\right]}{r} \)
\( \displaystyle \tau_{rz} = \left(\frac{P_0 – P_L}{2\,L} \right) r – \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,L} \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\frac{1}{r} \)
\( \displaystyle \tau_{rz} = \frac{(P_0 – P_L)\,R}{2\,L} \left(\frac{r}{R}\right) – \frac{(P_0 – P_L)\,R}{4\,L} \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\left(\frac{R}{r}\right) \)
\( \displaystyle \tau_{rz} = \frac{(P_0 – P_L)\,R}{2\,L} \left[\left(\frac{r}{R}\right) – \left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right)\left(\frac{R}{r}\right)\right] \) (10)
En la figura siguiente se muestra la distribución de velocidad y la distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento.
c) Velocidad máxima.
La velocidad es máxima cuando τrz = 0. De la ecuación (10):
\( \displaystyle \frac{(P_0 – P_L)\,R}{2\,L} \left[\left(\frac{r}{R}\right) – \left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right)\left(\frac{R}{r}\right)\right] = 0 \)
\( \displaystyle \left(\frac{r}{R}\right) – \left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right)\left(\frac{R}{r}\right) = 0 \)
\( \displaystyle \frac{r}{R} – \left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right)\frac{R}{r} = 0 \)
\( \displaystyle \frac{r}{R} = \left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right)\frac{R}{r}\)
\( \displaystyle \frac{r^2}{R^2} = \frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\)
\( \displaystyle r^2 = \frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}R^2\)
\( \displaystyle r = \sqrt{\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}}R\) (11)
Al sustituir la ecuación (11) en la ecuación (9):
\( \displaystyle v_z = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2 + \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\ln \left(\frac{r}{R}\right)\right] \) (9)
\( \displaystyle v_{z,max} = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left[1-\left[\sqrt{\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}}\right]^2 + \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\ln \left[\sqrt{\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}}\right]\right] \)
\( \displaystyle v_{z,max} = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left[1-\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)} + \left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right)\ln \left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right)\right] \)
\( \displaystyle v_{z,max} = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left[1-\left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right) \left[ 1 – \ln \left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right)\right]\right] \) (12)
d) Velocidad media.
\( \displaystyle <v_z> = \frac{\int_0^{2\,\pi}\int_{k\,R}^R v_z\,r\,d\,r\,d\, \theta}{\int_0^{2\,\pi}\int_{k\,R}^R r\,d\,r\,d\,\theta} \) (13)
Al sustituir la ecuación (9) en la ecuación (13):
\( \displaystyle <v_z> = \frac{\int_0^{2\,\pi}\int_{k\,R}^R \left[\frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2 + \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\ln \left(\frac{r}{R}\right)\right]\right]\,r\,d\,r\,d\, \theta}{\int_0^{2\,\pi}\int_{k\,R}^R r\,d\,r\,d\,\theta} \)
\( \displaystyle <v_z> = \frac{\frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\int_0^{2\,\pi}\int_{k\,R}^R \left[1-\frac{r^2}{R^2} + \frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}(\ln r-\ln R)\right]\,r\,d\,r\,d\, \theta}{\int_0^{2\,\pi}\int_{k\,R}^R r\,d\,r\,d\,\theta} \)
\( \displaystyle <v_z> = \frac{\frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\int_0^{2\,\pi}\left[\int_{k\,R}^R \left[1-\frac{r^2}{R^2} + \frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}(\ln r-\ln R)\right]\,r\,d\,r\right]\,d\, \theta}{\int_0^{2\,\pi}\left[\int_{k\,R}^R r\,d\,r\right]\,d\,\theta} \)
\( \displaystyle <v_z> = \frac{\frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\int_{k\,R}^R \left[1-\frac{r^2}{R^2} + \frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}(\ln r-\ln R)\right]\,r\,d\,r\int_0^{2\,\pi}d\, \theta}{\int_{k\,R}^R r\,d\,r\int_0^{2\,\pi}d\,\theta} \)
Al simplificar \(\displaystyle \int_0^{2\,\pi}d\,\theta\):
\( \displaystyle <v_z> = \frac{\frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\int_{k\,R}^R \left[1-\frac{r^2}{R^2} + \frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}(\ln r-\ln R)\right]\,r\,d\,r}{\int_{k\,R}^R r\,d\,r} \)
\( \displaystyle <v_z> = \frac{\frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\int_{k\,R}^R \left[\left[1-\frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}\ln R\right]-\frac{r^2}{R^2} + \frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}\ln r\right]\,r\,d\,r}{\int_{k\,R}^R r\,d\,r} \)
\( \displaystyle <v_z> = \frac{\frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\left[\left[1-\frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}\ln R\right]\int_{k\,R}^Rr\,d\,r-\frac{1}{R^2}\int_{k\,R}^Rr^3\,d\,r + \frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}\int_{k\,R}^Rr\,\ln r\,d\,r\right]}{\int_{k\,R}^Rr\,d\,r} \)
La integración conduce a:
\( \displaystyle <v_z> = \frac{\frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\left[\left[1-\frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}\ln R\right] \left(\frac{r^2}{2}\big\vert_{k\,R}^R\right)-\frac{1}{R^2}\left(\frac{r^4}{4}\big\vert_{k\,R}^R\right) + \frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}\left(\frac{r^2\ln r}{2}- \frac{r^2}{4}\big\vert_{k\,R}^R\right)\right]}{\left(\frac{r^2}{2}\big\vert_{k\,R}^R\right)} \)
\( \displaystyle <v_z> = \frac{\frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\left[\left[1-\frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}\ln R\right] \left(\frac{R^2-(k\,R)^2}{2}\right)-\frac{1}{R^2}\left(\frac{R^4-(k\,R)^4}{4}\right) + \frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}\left[\frac{R^2\ln R-(k\,R)^2\ln(k\,R)}{2}- \frac{R^2-(k\,R)^2}{4}\right]\right]}{\frac{R^2-(k\,R)^2}{2}} \)
\( \displaystyle <v_z> = \frac{\frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\left[\left[1-\frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}\ln R\right] \left(\frac{R^2-k^2R^2}{2}\right)-\frac{1}{R^2}\left(\frac{R^4-k^4R^4}{4}\right) + \frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}\left[\frac{R^2\ln R-k^2R^2\ln(k\,R)}{2}- \frac{R^2-k^2R^2}{4}\right]\right]}{\frac{R^2-k^2R^2}{2}} \)
\( \displaystyle <v_z> = \frac{\frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\left[\left[1-\frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}\ln R\right]R^2 \left(\frac{1-k^2}{2}\right)-\frac{R^4}{R^2}\left(\frac{1-k^4}{4}\right) + \frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}R^2\left[\frac{\ln R-k^2\ln(k\,R)}{2}- \frac{1-k^2}{4}\right]\right]}{\frac{1-k^2}{2}} \)
Al simplificar R2:
\( \displaystyle <v_z> = \frac{\frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\left[\left[1-\frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}\ln R\right] \left(\frac{1-k^2}{2}\right)-\frac{1-k^4}{4} + \frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}\left[\frac{\ln R-k^2\ln(k\,R)}{2}- \frac{1-k^2}{4}\right]\right]}{\frac{1-k^2}{2}} \)
\( \displaystyle <v_z> = \frac{\frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\left[\left[1-\frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}\ln R\right] \left(\frac{1-k^2}{2}\right)-\frac{(1-k^2)\,(1+k^2)}{4} + \frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}\left[\frac{\ln R-k^2\ln k-k^2\ln R}{2}- \frac{1-k^2}{4}\right]\right]}{\frac{1-k^2}{2}} \)
Al simplificar 1–k2:
\( \displaystyle <v_z> = \frac{\frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\left[\left[1-\frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}\ln R\right] \left(\frac{1}{2}\right)-\frac{1+k^2}{4} + \frac{1}{\ln(1/k)}\left[\frac{(1-k^2)\ln R-k^2\ln k}{2}- \frac{1-k^2}{4}\right]\right]}{\frac{1}{2}} \)
\( \displaystyle <v_z> = \frac{\frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\left[\frac{1}{2}-\frac{(1-k^2)}{2\ln(1/k)}\ln R -\frac{1+k^2}{4} +\frac{(1-k^2)}{2\ln(1/k)}\ln R- \frac{k^2\ln k}{2\ln(1/k)}- \frac{1-k^2}{4\ln(1/k)}\right]}{\frac{1}{2}} \)
\( \displaystyle <v_z> = \frac{\frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\left[\frac{1}{2} -\frac{1+k^2}{4} – \frac{k^2\ln k}{-2\ln k}- \frac{1-k^2}{4\ln(1/k)}\right]}{\frac{1}{2}} \)
\( \displaystyle <v_z> = \frac{\frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\left[\frac{1}{2} -\frac{1}{4}-\frac{k^2}{4} + \frac{k^2}{2}- \frac{1-k^2}{4\ln(1/k)}\right]}{\frac{1}{2}} \)
Al asociar términos semejantes:
\( \displaystyle <v_z> = \frac{\frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\left[\frac{1}{4}+\frac{k^2}{4} – \frac{1-k^2}{4\ln(1/k)}\right]}{\frac{1}{2}} \)
\( \displaystyle <v_z> = \frac{\frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\left[\frac{1+k^2}{4} – \frac{1-k^2}{4\ln(1/k)}\right]}{\frac{1}{2}} \)
\( \displaystyle <v_z> = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{8\,\mu\,L}\left[1+k^2 – \frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right] \)
Esta expresión es equivalente a la proporcionada por Bird:
\( \displaystyle <v_z> = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{8\,\mu\,L}\left[\frac{1-k^4}{1-k^2} – \frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right] \) (14)
Caudal entre los dos cilindros.
Q = < vz > A (15)
Área perpendicular al flujo:
A = π R2 – π (k R)2
A = π R2 (1 – k2) (16)
Al sustituir las ecuaciones (14) y (16) en la ecuación (15):
\( \displaystyle Q = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{8\,\mu\,L}\left[\frac{1-k^4}{1-k^2} – \frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right][\pi\,R^2(1-k^2)] \)
\( \displaystyle Q = \frac{\pi\,(P_0 – P_L)\,R^4}{8\,\mu\,L}\left[1-k^4 – \frac{(1-k^2)^2}{\ln(1/k)}\right]\) (17)
Fuerza ejercida por el fluido sobre el sólido interior.
Fz (r) = τrz A (18)
De la ecuación (10):
\( \displaystyle \tau_{rz} = \frac{(P_0 – P_L)\,R}{2\,L} \left[\left(\frac{r}{R}\right) – \left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right)\left(\frac{R}{r}\right)\right] \) (10)
Área de contacto.
A (r) = 2 π r L (19)
Al sustituir las ecuaciones (10) y (19) en (18):
\( \displaystyle F_{z}(r) = \frac{(P_0 – P_L)\,R}{2\,L} \left[\left(\frac{r}{R}\right) – \left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right)\left(\frac{R}{r}\right)\right](2\,\pi\,r\,L) \)
\( \displaystyle F_{z}(r) = \pi\,(P_0 – P_L)\,R \left[\left(\frac{r^2}{R}\right) – \left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right)R\right]\)
\( \displaystyle F_{z}(r) = \pi\,(P_0 – P_L)\,R^2 \left[\left(\frac{r^2}{R^2}\right) – \frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right]\)
\( \displaystyle F_{z}(r) = \pi\,(P_0 – P_L)\,R^2 \left[\left(\frac{r}{R}\right)^2 – \frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right]\) (20)
Para la capa de fluido sobre la superficie interior (de menor diámetro), r = k R. Al evaluar la ecuación (20) en r = k R:
\( \displaystyle F_{z}(r) = \pi\,(P_0 – P_L)\,R^2 \left[\left(\frac{k\,R}{R}\right)^2 – \frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right]\)
\( \displaystyle F_{z}(r) = \pi\,(P_0 – P_L)\,R^2 \left[k^2 – \frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right]\) (21)
Para la capa de fluido sobre la superficie exterior (de mayor diámetro), r = R. Al evaluar la ecuación (20) en r = R:
\( \displaystyle F_{z}(r) = \pi\,(P_0 – P_L)\,R^2 \left[\left(\frac{R}{R}\right)^2 – \frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right]\)
\( \displaystyle F_{z}(r) = \pi\,(P_0 – P_L)\,R^2 \left[1 – \frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right]\) (22)
Fuerza total.
Fz = – Fz (k R) + Fz (R) (23)
Al sustituir las ecuaciones (21) y (22) en la ecuación (23):
\( \displaystyle F_{z}=-\pi\,(P_0 – P_L)\,R^2 \left[k^2 – \frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right]+\pi\,(P_0 – P_L)\,R^2 \left[1 – \frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right]\)
\( \displaystyle F_{z}=\pi\,(P_0 – P_L)\,R^2 \left[-k^2 + \frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}+1 – \frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right]\)
Fz = π (P0 – PL) R2 (1 – k2) (24)
Esta fuerza es equivalente a la diferencia de presión P0 – PL por el área de flujo π R2 (1 – k2).
Cuando k se hace cero las ecuaciones de vz y τrz se transforman en las correspondientes al flujo en tubos circulares.
Comprobación analítica.
Caso límite vz.
De la ecuación (9):
\( \displaystyle v_z = \lim_{k\to0}\frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2 + \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\ln \left(\frac{r}{R}\right)\right] \)
\( \displaystyle v_z = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2 + \left[\lim_{k\to0}\left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\right]\ln \left(\frac{r}{R}\right)\right] \)
\( \displaystyle v_z = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2 + \left[\frac{1-(0)^2}{\ln(1/(0))}\right]\ln \left(\frac{r}{R}\right)\right] \)
\( \displaystyle v_z = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2 + \left[\frac{1-0}{\ln(\infty)}\right]\ln \left(\frac{r}{R}\right)\right] \)
\( \displaystyle v_z = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2 + \left(\frac{1}{\infty}\right)\ln \left(\frac{r}{R}\right)\right] \)
\( \displaystyle v_z = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2 + (0)\ln \left(\frac{r}{R}\right)\right] \)
\( \displaystyle v_z = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2 \right] \)
La ecuación obtenida es la correspondiente a la distribución de velocidad para el flujo en un tubo circular.
Caso límite τrz.
De la ecuación 10:
\( \displaystyle \tau_{rz} = \lim_{k\to0}\frac{(P_0 – P_L)\,R}{2\,L} \left[\left(\frac{r}{R}\right) – \left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right)\left(\frac{R}{r}\right)\right] \)
\( \displaystyle \tau_{rz} = \frac{(P_0 – P_L)\,R}{2\,L} \left[\left(\frac{r}{R}\right) – \left[\lim_{k\to0}\left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right)\right]\left(\frac{R}{r}\right)\right] \)
\( \displaystyle \tau_{rz} = \frac{(P_0 – P_L)\,R}{2\,L} \left[\left(\frac{r}{R}\right) – \left[\frac{1-(0)^2}{\ln(1/(0))}\right]\left(\frac{R}{r}\right)\right] \)
\( \displaystyle \tau_{rz} = \frac{(P_0 – P_L)\,R}{2\,L} \left[\left(\frac{r}{R}\right) – \left[\frac{1-0}{\ln(\infty)}\right]\left(\frac{R}{r}\right)\right] \)
\( \displaystyle \tau_{rz} = \frac{(P_0 – P_L)\,R}{2\,L} \left[\left(\frac{r}{R}\right) – \left(\frac{1}{\infty}\right)\left(\frac{R}{r}\right)\right] \)
\( \displaystyle \tau_{rz} = \frac{(P_0 – P_L)\,R}{2\,L} \left[\left(\frac{r}{R}\right) – (0)\left(\frac{R}{r}\right)\right] \)
\( \displaystyle \tau_{rz} = \frac{(P_0 – P_L)\,R}{2\,L}\left(\frac{r}{R}\right)\)
\( \displaystyle \tau_{rz} = \frac{(P_0 – P_L)}{2\,L}r\)
La ecuación obtenida es la correspondiente a la distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento para el flujo en un tubo circular.
