Descripción
Encuentre el valor de zα/2 para usar en la expresión \( \displaystyle \overline{x}\pm z_{\alpha/2}\sigma_{\overline{x}}\) para construir un intervalo de confianza con nivel
a) 95%
b) 98%
c) 99%
d) 80%
Find the value of zα/2 to use in expression \( \displaystyle \overline{x}\pm z_{\alpha/2}\sigma_{\overline{x}}\) to construct a confidence interval with level
a) 95%
b) 98%
c) 99%
d) 80%
Referencia:
Exercise 1. Section 5.1 from William Navidi. Página 335.
Solución.
a) Nivel de confianza: 1 – α = 0.95.
1 – α = 0.95
α = 1 – 0.95
α = 0.05
\(\displaystyle \frac{\alpha}{2}=\frac{0.05}{2}\)
\(\displaystyle \frac{\alpha}{2}=0.025\)
zα/2 = z0.025 es el valor de z que tiene un área de 0.025 a la derecha.
El área acumulada a la izquierda es 1 – 0.025 = 0.9750.
Técnicamente, el valor de z se determina como P (z ≤ zα/2) = 0.9750.
En palabras, z será el valor que corresponda a la probabilidad de 0.9750.
Para calcular este valor, se reproduce parte de la tabla de la normal estándar presentada en el apéndice del libro.
Se busca el valor de 0.9750 y se identifica el valor z que se relaciona con esta probabilidad.
Como se puede observar, cuando la probabilidad es 0.9750, el valor de z es igual a 1.96.
zα/2 = 1.96
b) Situación resuelta con anterioridad. Para ver solución, presione aquí.
c) Nivel de confianza: 1 – α = 0.99.
1 – α = 0.99
α = 1 – 0.99
α = 0.01
\(\displaystyle \frac{\alpha}{2}=\frac{0.01}{2}\)
\(\displaystyle \frac{\alpha}{2}=0.005\)
zα/2 = z0.005 es el valor de z que tiene un área de 0.005 a la derecha.
El área acumulada a la izquierda es 1 – 0.005 = 0.9950.
Técnicamente, el valor de z se determina como P (z ≤ zα/2) = 0.9950.
En palabras, z será el valor que corresponda a la probabilidad de 0.9500.
Para calcular este valor, se reproduce parte de la tabla de la normal estándar presentada en el apéndice del libro.
Se busca el valor de 0.9950 y se identifica el valor z que se relaciona con esta probabilidad.
No encontramos 0.9950 exactamente. Los valores más cercanos son los que corresponden a 0.9949 (z = 2.57) y 0.9951 (z = 2.58). Se aplica interpolación lineal.
|
Probabilidad |
z |
|
0.9949 |
2.57 |
|
0.9950 |
z |
|
0.9951 |
2.58 |
\(\displaystyle \frac{z-2.57}{2.58-2.57}=\frac{0.9950-0.9949}{0.9951-0.9949}\)
\(\displaystyle z=\frac{0.9950-0.9949}{0.9951-0.9949}(2.58-2.57)+2.57\)
zα/2 = 2.575
