Descripción
Determine el valor de zα/2 para utilizar la expresión \( \displaystyle \overline{x}\pm z_{\alpha/2}\sigma_{\overline{x}}\) con el fin de construir un intervalo de confianza con nivel
a) 90%
b) 83%
c) 99.5%
d) 75%
Referencia:
Ejercicio 1. Sección 5.1 del William Navidi. Página 313.
Solución.
a) Situación resuelta con anterioridad. Para ver solución, presione aquí.
b) Nivel de confianza: 1 – α = 0.83.
1 – α = 0.83
α = 1 – 0.83
α = 0.17
\(\displaystyle \frac{\alpha}{2}=\frac{0.17}{2}\)
\(\displaystyle \frac{\alpha}{2}=0.085\)
zα/2 = z0.085 es el valor de z que tiene un área de 0.085 a la derecha.
El área acumulada a la izquierda es 1 – 0.085 = 0.9150.
Técnicamente, el valor de z se determina como P (z ≤ zα/2) = 0.9150.
En palabras, z será el valor que corresponda a la probabilidad de 0.9150.
Para calcular este valor, se reproduce parte de la tabla de la normal estándar presentada en el apéndice del libro.
Se busca el valor de 0.9150 y se identifica el valor z que se relaciona con esta probabilidad.
No encontramos 0.9150 exactamente. Los valores más cercanos son los que corresponden a 0.9147 (z = 1.37) y 0.9162 (z = 1.38). Se aplica interpolación lineal.
|
Probabilidad |
z |
|
0.9147 |
1.37 |
|
0.9150 |
z |
|
0.9165 |
1.38 |
\(\displaystyle \frac{z-1.37}{1.38-1.37}=\frac{0.9150-0.9147}{0.9165-0.9147}\)
\(\displaystyle z=\frac{0.9150-0.9147}{0.9165-0.9147}(1.38-1.37)+1.37\)
zα/2 = 1.372
c) Nivel de confianza: 1 – α = 0.995.
1 – α = 0.995
α = 1 – 0.995
α = 0.005
\(\displaystyle \frac{\alpha}{2}=\frac{0.005}{2}\)
\(\displaystyle \frac{\alpha}{2}=0.0025\)
zα/2 = z0.0025 es el valor de z que tiene un área de 0.0025 a la derecha.
El área acumulada a la izquierda es 1 – 0.0025 = 0.9975.
Técnicamente, el valor de z se determina como P (z ≤ zα/2) = 0.9975.
En palabras, z será el valor que corresponda a la probabilidad de 0.9975.
Para calcular este valor, se reproduce parte de la tabla de la normal estándar presentada en el apéndice del libro.
Se busca el valor de 0.9975 y se identifica el valor z que se relaciona con esta probabilidad.
Como se puede observar, cuando la probabilidad es 0.9975, el valor de z es igual a 2.81
zα/2 = 2.81
d) Nivel de confianza: 1 – α = 0.75.
1 – α = 0.75
α = 1 – 0.75
α = 0.25
\(\displaystyle \frac{\alpha}{2}=\frac{0.25}{2}\)
\(\displaystyle \frac{\alpha}{2}=0.125\)
zα/2 = z0.125 es el valor de z que tiene un área de 0.125 a la derecha.
El área acumulada a la izquierda es 1 – 0.125 = 0.8750.
Técnicamente, el valor de z se determina como P (z ≤ zα/2) = 0.8750.
En palabras, z será el valor que corresponda a la probabilidad de 0.8750.
Para calcular este valor, se reproduce parte de la tabla de la normal estándar presentada en el apéndice del libro.
Se busca el valor de 0.8750 y se identifica el valor z que se relaciona con esta probabilidad.
No encontramos 0.8750 exactamente. Los valores más cercanos son los que corresponden a 0.8749 (z = 1.15) y 0.8770 (z = 1.16). Se aplica interpolación lineal.
|
Probabilidad |
z |
|
0.8749 |
1.15 |
|
0.8750 |
z |
|
0.8770 |
1.16 |
\(\displaystyle \frac{z-1.15}{1.16-1.15}=\frac{0.8750-0.8749}{0.8770-0.8749}\)
\(\displaystyle z=\frac{0.8750-0.8749}{0.8770-0.8749}(1.16-1.15)+1.15\)
zα/2 = 1.1505
