Descripción
Determinar si los puntos P ( 1 , – 2 , 3 ), Q ( 2 , 1 , 0 ) y R ( 4 , 7 , – 6 ) son colineales.
Referencia:
Ejemplo 5. Sección 11.2 del Larson. Novena Edición. Página 778.
Solución.
Primer mecanismo de solución.
Tres puntos en ℝ3 son colineales si la suma de los dos segmentos de menor longitud coincide con el segmento de mayor longitud.
Se determinan las tres distancias posibles:
\(\displaystyle PQ=\sqrt{(2-1)^2+[1-(-2)]^2+(0-3)^2}\)
\(\displaystyle PQ=\sqrt{(1)^2+(3)^2+(-3)^2}\)
\(\displaystyle PQ=\sqrt{1+9+9}\)
\(\displaystyle PQ=\sqrt{19}\)
\(\displaystyle QR=\sqrt{(4-2)^2+(7-1)^2+(-6-0)^2}\)
\(\displaystyle QR=\sqrt{(2)^2+(6)^2+(-6)^2}\)
\(\displaystyle QR=\sqrt{4+36+36}\)
\(\displaystyle QR=\sqrt{76}\)
\(\displaystyle QR=2\,\sqrt{19}\)
\(\displaystyle PR=\sqrt{(4-1)^2+[7-(-2)]^2+(-6-3)^2}\)
\(\displaystyle PR=\sqrt{(3)^2+(9)^2+(-9)^2}\)
\(\displaystyle QR=\sqrt{9+81+81}\)
\(\displaystyle PR=\sqrt{171}\)
\(\displaystyle PR=3\,\sqrt{19}\)
En base a las distancias determinadas, observamos que PQ + QR = PR, esto es, la suma de los dos segmentos de menor longitud coincide con el segmento de mayor longitud, por lo tanto los tres puntos dados son colineales.
Segundo mecanismo de solución.
Tres puntos en ℝ3 son colineales si al definir dos vectores usando los tres puntos, un vector es un múltiplo escalar del otro.
Se determinan los dos vectores:
PQ = (2 – 1) i + [1 – (–2)] j + (0 – 3) k
PQ = i + 3 j – 3 k
PR = (4 – 1) i + [7 – (–2)] j + (–6 – 3) k
PR = 3 i + 9 j – 9 k
Averiguamos entonces si los dos vectores son paralelos.
PQ = α PR
i + 3 j – 3 k = α (3 i + 9 j – 9 k)
i + 3 j – 3 k = 3 α i + 9 α j – 9 α k
Puesto que ambos vectores son iguales, las componentes correspondientes han de ser iguales:
1 = 3 α
3 = 9 α
– 3 = – 9 α
Al resolver cada una de las tres ecuaciones anteriores, se obtiene como solución:
\(\alpha=\frac{1}{3}\)
\(\alpha=\frac{1}{3}\)
\(\alpha=\frac{1}{3}\)
Como el valor de \(\alpha=\frac{1}{3}\) obtenido es único, entonces se tiene que
\(\mathbf{PQ}=\frac{1}{3}\mathbf{PR}\)
Un vector es un múltiplo escalar del otro, por lo tanto los vectores PQ y PR son paralelos. Los tres puntos P, Q y R dados son colineales.
La gráfica de los puntos, que como hemos visto no es necesaria para la resolución del problema, se muestra a continuación:
