Descripción
Hallar ecuaciones paramétricas y ecuación simétrica que describan la recta que pasa por
( 1 , – 2 , 4 ) y ( 3 , 2 , 0 ).
Referencia:
Ejemplo 1. Sección 14.3 del Larson. Segunda Edición. Página 642.
Solución.
Ecuaciones paramétricas de la recta buscada:
x = x0 + a t
y = y0 + b t
z = x0 + c t (1)
Ecuación simétrica de la recta buscada:
\(\displaystyle \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\) (2)
Coordenadas del punto perteneciente a la recta buscada:
( x0 , y0 , z0 ) = ( 1 , – 2 , 4 )
x0 = 1
y0 = – 2
z0 = 4 (3)
El vector A = a i + b j + c k se obtiene a partir del vector dirigido bien sea desde el punto P ( 1 , – 2 , 4 ) hasta el punto Q ( 3 , 2 , 0 ) o desde el punto Q hasta el punto P (El opuesto de PQ).
Si elegimos como vector director de la recta el vector desde P hasta Q:
A = (3 – 1) i + [(2 – (–2)] j + (0 – 4) k
A = 2 i + 4 j – 4 k
Componentes del vector director de la recta buscada:
a = 2
b = 4
c = – 4 (4)
Al sustituir los valores dados por (3) y (4) en las ecuaciones (1):
\(\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-4}{-4}\)
La ecuación anterior puede ser simplificada a:
\(\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-4}{-2}\)
Teniéndose que si el vector director de una recta es A, entonces cualquier vector paralelo a A es también director de la recta, en este caso A = 2 i + 4 j – 4 k es director de la recta requerida y también lo es el vector A´ = i + 2 j – 2 k.
Ecuaciones paramétricas.
A partir de la ecuación
\(\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-4}{-2}\)
Para determinar las ecuaciones paramétricas de la recta se iguala la ecuación simétrica al parámetro t.
\(\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-4}{-2}=t\)
Al despejar x, y y z de la ecuación anterior:
x = 1 + t
y = – 2 + 2 t
z = 4 – 2 t
Otras soluciones factibles del problema son:
Si se toman el punto ( 3 , 2 , 0 ) y el vector PQ = 2 i + 4 j – 4 k
\(\displaystyle \frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z}{-4}\) ó \(\displaystyle \frac{x-3}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{-2}\)
Si se toman el punto ( 1 , – 2 , 4 ) y el vector QP = – 2 i – 4 j + 4 k
\(\displaystyle \frac{x-1}{-2}=\frac{y+2}{-4}=\frac{z-4}{4}\) ó \(\displaystyle \frac{x-1}{-1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-4}{2}\)
Si se toman el punto ( 3 , 2 , 0 ) y el vector QP = – 2 i – 4 j + 4 k
\(\displaystyle \frac{x-3}{-2}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z}{4}\) ó \(\displaystyle \frac{x-3}{-1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z}{2}\)
Debido a la posibilidad de encontrar varias ecuaciones de la recta que satisfacen las condiciones del problema es que se dice que la ecuación de una recta en el espacio no es única.
