Descripción
Hallar el conjunto de ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos ( 2 , 3 , 0 ) y ( 10 , 8 , 12 ).
Referencia: Guía de Ejercicios Prof. Thais Marín. Universidad de Oriente. Núcleo de Anzoátegui. Periodo I-2025.
Solución.
Ecuaciones paramétricas de la recta buscada:
x = x0 + a t
y = y0 + b t
z = x0 + c t (1)
Coordenadas del punto perteneciente a la recta buscada:
( x0 , y0 , z0 ) = ( 2 , 3 , 0 )
x0 = 2
y0 = 3
z0 = 0 (2)
El vector A = a i + b j + c k se obtiene a partir del vector dirigido bien sea desde el punto P ( 2 , 3 , 0 ) hasta el punto Q ( 10 , 8 , 12 ) o desde el punto Q hasta el punto P (El opuesto de PQ).
Si elegimos como vector director de la recta el vector desde P hasta Q:
A = (10 – 2) i + (8 – 3) j + (12 – 0) k
A = 8 i + 5 j + 12 k
Componentes del vector director de la recta buscada:
a = 8
b = 5
c = 12 (3)
Al sustituir los valores dados por (2) y (3) en las ecuaciones (1):
x = 2 + 8 t
y = 3 + 5 t
z = 0 + 12 t ó z = 12 t
Otras soluciones factibles del problema son:
Si se toman el punto ( 10 , 8 , 12 ) y el vector PQ = 8 i + 5 j + 12 k
x = 10 + 8 t
y = 8 + 5 t
z = 12 + 12 t
Si se toman el punto ( 2 , 3 , 0 ) y el vector QP = – 8 i – 5 j – 12 k
x = 2 – 8 t
y = 3 – 5 t
z = 0 – 12 t ó z = – 12 t
Si se toman el punto ( 10 , 8 , 12 ) y el vector QP = – 8 i – 5 j – 12 k
x = 10 – 8 t
y = 8 – 5 t
z = 12 – 12 t
Debido a la posibilidad de encontrar varias ecuaciones de la recta que satisfacen las condiciones del problema es que se dice que la ecuación de una recta en el espacio no es única.
