Descripción
Evalúe \( \displaystyle \int \frac{\sqrt{9-x^2}\,d\,x}{x^2}\).
Referencias:
Ejemplo 1 del Louis Leithold. Séptima Edición. Página 566.
Ejemplo 1. Sección 7.3 del Stewart. Tercera Edición. Página 430.
Ejemplo 1. Sección 7.3 del Stewart. Cuarta Edición. Página 484.
Solución.
El integrando tiene la forma \( \displaystyle\sqrt{a^2-u^2}\), se hace la sustitución:
| x = 3 sen θ | d x = 3 cos θ d θ | \( \displaystyle\sqrt{9 – x^2} = \sqrt{9 – (3 \sin \theta)^2} \) |
| \(\displaystyle\sqrt{9 – x^2}= \sqrt{9 – 9 \sin^2 \theta} \) | ||
| \(\displaystyle\sqrt{9 – x^2}= \sqrt{9\,(1-\sin^2 \theta)} \) | ||
| \(\displaystyle\sqrt{9 – x^2}= \sqrt{9\,\cos^2 \theta} \) | ||
| \(\displaystyle\sqrt{9 – x^2}= 3 \cos \theta \) |
Al sustituir \( \displaystyle\sqrt{9-x^2}=3\,\cos\theta\), d x = 3 cos θ d θ y x = 3 sen θ en la integral:
\( \displaystyle \int\frac{\sqrt{9-x^2}\,d\,x}{x^ 2}=\int\frac{(3\,\cos\theta)\,(3\,\cos \theta\,d\,\theta)}{(3 \sin \theta)^2}\)
\( \displaystyle \int\frac{\sqrt{9-x^2}\,d\,x}{x^2}=\int\frac{9\,\cos^2\theta\,d\,\theta}{9\sin^2\theta}\)
Al simplificar los valores numéricos:
\( \displaystyle \int\frac{\sqrt{9-x^2}\,d\,x}{x^2}=\int\frac{\,\cos^2\theta\,d\,\theta}{\sin^2\theta}\)
\( \displaystyle \int\frac{\sqrt{9-x^2}\,d\,x}{x^2}=\int\cot^2\theta\,d\,\theta\)
\( \displaystyle \int\frac{\sqrt{9-x^2}\,d\,x}{x^2}=\int(\csc^2\theta-1)\,d\,\theta\)
\( \displaystyle \int\frac{\sqrt{9-x^2}\,d\,x}{x^2}=\int\csc^2\theta\,d\,\theta-\int d\,\theta\)
La integración conduce a:
\( \displaystyle \int\frac{\sqrt{9-x^2}\,d\,x}{x^2}=-\cot\theta-\theta+C\) (1)
Para volver a la variable original se debe definir cot θ en función de x.
Partiendo de la sustitución trigonométrica realizada:
x = 3 sen θ
\( \displaystyle \sin\theta=\frac{x}{3}=\frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}\)
Se construye un triángulo rectángulo cuyo cateto opuesto es x e hipotenusa es 3. El lado faltante, se determina con la aplicación del teorema de Pitágoras.
Observe que la magnitud del lado faltante coincide con la expresión \( \displaystyle\sqrt{9-x^2}\) que se encuentra en el integrando.
A partir del triángulo obtenido, se define cot θ.
\( \displaystyle \cot\theta=\frac{\text{Cateto adyacente}}{\text{Cateto opuesto}}\)
\( \displaystyle \cot\theta=\frac{\sqrt{9-x^2}}{x}\) (2)
Al sustituir la ecuación (2) en la ecuación (1):
\( \displaystyle \int \frac{\sqrt{9-x^2}\,d\,x}{x^2}=-\frac{\sqrt{9-x^2}}{x}-\sin^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+C\)
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