Descripción
Hallar \( \displaystyle \int \frac{d\,u}{(a^2-u^2)^{\frac{3}{2}}}\).
Referencias:
Ejemplo 1. Sección 135 del Granville – Smith – Longley. Página 267.
Exercise 2. Section 108 from James Michie. Page 193.
Solución.
El integrando tiene la forma \( \displaystyle\sqrt{a^2-u^2}\), se hace la sustitución:
| u = a sen θ | d u = a cos θ d θ | \( \displaystyle (a^2-u^2)^{\frac{3}{2}}=[a^2-(a\sin\theta)^2]^{\frac{3}{2}}\) |
| \( \displaystyle (a^2-u^2)^{\frac{3}{2}}=[a^2-a^2\sin^2\theta]^{\frac{3}{2}}\) | ||
| \( \displaystyle (a^2-u^2)^{\frac{3}{2}}=[a^2(1-\sin^2\theta)]^{\frac{3}{2}}\) | ||
| \( \displaystyle (a^2-u^2)^{\frac{3}{2}}=(a^2\cos^2\theta)^{\frac{3}{2}}\) | ||
| \( \displaystyle (a^2-u^2)^{\frac{3}{2}}= a^3\cos^3\theta\) |
Al sustituir u = a sen θ, \( \displaystyle (a^2-u^2)^{\frac{3}{2}}= a^3\cos^3\theta\) y d u = a cos θ d θ en la integral:
\( \displaystyle \int\frac{d\,u}{(a^2-u^2)^{\frac{3}{2}}}=\int\frac{a\,cos\,\theta\,d\,\theta}{a^3\cos^3\theta}\)
Al simplificar factores de “a” y un factor cos θ:
\( \displaystyle \int\frac{d\,u}{(a^2-u^2)^{\frac{3}{2}}}=\int\frac{d\,\theta}{a^2\cos^2\theta}\)
\( \displaystyle \int\frac{d\,u}{(a^2-u^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{a^2}\int\frac{d\,\theta}{\cos^2\theta}\)
\( \displaystyle \int\frac{d\,u}{(a^2-u^2)^{\frac{3}{2}}}=\int \sec^2\theta\,d\,\theta\)
La integración conduce a:
\( \displaystyle \int\frac{d\,u}{(a^2-u^2)^{\frac{3}{2}}}=\tan\,\theta+C\) (1)
Para volver a la variable original se debe definir tan θ en función de u.
Partiendo de la sustitución trigonométrica realizada:
u = a sen θ
\( \displaystyle \sin\theta=\frac{u}{a}=\frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}\)
Se construye un triángulo rectángulo cuyo cateto opuesto es u e hipotenusa es a. El lado faltante, se determina con la aplicación del teorema de Pitágoras.
Observe que la magnitud del lado faltante coincide con la expresión \( \displaystyle \sqrt{a^2-u^2}\) que se encuentra en el integrando.
A partir del triángulo obtenido, se define tan θ.
\( \displaystyle \tan\theta=\frac{u}{\sqrt{a^2-u^2}}\) (2)
Al sustituir la ecuación (2) en la ecuación (1):
\( \displaystyle \int\frac{d\,u}{(a^2-u^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{a^2}\frac{u}{\sqrt{a^2-u^2}}+C\)
\( \displaystyle \int\frac{d\,u}{(a^2-u^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{u}{a^2\sqrt{a^2-u^2}}+C\)
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