Descripción
Función radical.
Definición de la función radical.
La función radical se define como:
\( \displaystyle f\,(x) = \sqrt[n]{P\,(x)}\) n ∈ ℝ P (x) es una función.
n se conoce como el índice de la raíz, mientras que P (x) es la cantidad subradical.
Ejemplos de la función radical.
Son ejemplos de función radical:
\( \displaystyle f\,(x) = \sqrt{2\,x-4}\)
\( \displaystyle f\,(x) = \sqrt{x^3-4\,x}\)
\( \displaystyle f\,(x) = \sqrt{\frac{5\,x-2}{x-2}}\)
\( \displaystyle f\,(x) = \sqrt[3]{\frac{6-7\,x}{5-x}}\)
Dominio de la función radical.
El dominio de la función radical depende de la naturaleza del índice de la raíz y de la cantidad subradical:
Caso 1. n es un número impar: P (x) admite cualquier valor.
Una forma práctica de determinar el dominio de una función radical en la cual el índice es impar es suprimiendo el radical y analizando el dominio de la función resultante.
Caso 2. n es un número par: P (x) ≥ 0.
Hay un punto importante que conviene discutir:
¿Por qué no está existe la raíz par de números negativos en el campo de los números reales?
Explicación:
Imagina que tenemos una raíz cuadrada como \( \displaystyle f\,(x) = \sqrt{-a}\), con a > 0.
El resultado de determinar \( \displaystyle \sqrt{-a}\) lo llamaremos b.
\( \displaystyle \sqrt{-a}=b\) (1)
Si elevamos al cuadrado ambos elementos de la ecuación (1):
\( \displaystyle (\sqrt{-a})^2=(b)^2\)
Al simplificar el radical con la potencia en el miembro de la izquierda:
– a = b2
ó
b2 = – a (2)
Ahora bien: ¿Cuál es el número b que al multiplicarlo por sí mismo según la ecuación (2) reproduce un valor – a < 0?
No es posible determinar tal número, por lo tanto se dice que b no existe y la raíz cuadrada de números negativos no es existe en el campo de los números reales.
Esta disertación es válida para cualquier raíz de índice par.
Lo discutido anteriormente es la razón por la cual para determinar el dominio de las funciones radicales con índice par, se deben considerar todos los valores reales de x en los cuales la cantidad subradical sea positiva. Los valores de x que generan resultado negativo no conducen a un resultado válido en el campo de los números reales para la función y por lo tanto no tienen imagen, no cumpliéndose con la condición de existencia involucrada en la definición de función y por ende, dichos valores de x no pertenecen al dominio de la función.
Dom f = {x ∈ ℝ / P (x) ≥ 0}
Comentario del autor.
El problema asociado a determinar el dominio de una función radical se limita a resolver una inecuación [P (x) ≥ 0].
El mecanismo para resolver la inecuación P (x) ≥ 0, y encontrar el dominio de la función, depende de la forma que tenga P (x). Generalmente son funciones racionales, pero no se descarta la existencia de otro tipo de funciones (algebraicas en general, trigonométricas, valor absoluto, parte entera, entre otras).
En el caso que la cantidad subradical contenga expresiones racionales, es conveniente entender a cabalidad la función racional para completar el análisis de la función radical.
En general, cuando la cantidad subradical contiene una función racional, se debe factorizar dicha cantidad subradical y hacer el estudio del signo de la misma. Se eligen los valores de x que generan valores positivos y se descartan los que generan valores negativos. Adicionalmente, se debe tener cuidado de excluir del dominio los valores de x que anulen el denominador de la expresión racional.
Gráfica de la función radical.
Dado que el trazado de la gráfica de este tipo de funciones requiere técnicas avanzadas de cálculo, se analizará en capítulos posteriores.
Rango de la función racional.
Una de las formas de determinar el rango de la función racional es a partir de la gráfica. Puesto que dicha gráfica no será requerida en forma explícita, el rango de la función tampoco lo será.
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