Descripción
Función racional.
Definición de la función racional.
Si una función puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales, entonces se denomina función racional.
La función racional se define como
\( f\,(x) = \displaystyle \frac{P\,(x)}{Q\,(x)}\), \( P\,(x) \neq 0\)
P (x) y Q (x) son funciones polinomiales y el grado de Q (x) debe ser mayor o igual a 1.
Ejemplos de la función racional.
Son ejemplos de función racional:
\( f\,(x) = \displaystyle \frac{3\,x-2}{2-4\,x}\)
\( f\,(x) = \displaystyle \frac{x^2-3\,x+2}{5-x^2}\)
\( f\,(x) = \displaystyle \frac{x^2+3}{x^2+x-12}\)
No son ejemplos de función racional:
\( f\,(x) = \displaystyle \frac{x^2+3\,x-7}{5}\) El grado de Q (x) debe ser mayor o igual a 1.
\( f\,(x) = \displaystyle \frac{3\,x^2+5\,\sqrt{x}}{4\,x-3}\) P (x) debe ser un polinomio.
\( f\,(x) = \displaystyle \frac{2\,x-5}{x^2-x^{\frac{1}{3}}+6}\) Q (x) debe ser un polinomio.
Dominio de la función racional.
Está determinado por el campo de los números reales ℝ, excepto los valores x para los cuales el denominador es nulo [Q (x) = 0].
Dom f = ℝ – { x ∈ ℝ / Q (x) = 0}
Hay un punto importante que conviene discutir:
¿Por qué no está permitida la división por cero?
Explicación:
Supongamos que se realizará la división exacta:
\( C = \displaystyle \frac{d}{D}\), d ≠ 0 (1)
donde C es el cociente, d el dividendo y D el divisor.
Por equivalencia, de la ecuación (1) tenemos:
d = C . D (2)
Si el denominador es nulo, D = 0, de la ecuación (2) se tiene que:
d = C.(0) (3)
Ahora bien: ¿Cuál es el número C que al multiplicarlo por cero según la ecuación (3) reproduce un valor d ≠ 0?
No es posible determinar tal número, por lo tanto se dice que C (el cociente) no existe y la división entre cero no es posible.
Esta es la razón por la cual para determinar el dominio de las funciones racionales, se deben considerar todos los valores reales de x excepto los que anulen el denominador. Estos valores de x que anulan el denominador no conducen a un resultado conocido para la función y por lo tanto no tienen imagen, no cumpliéndose con la condición de existencia involucrada en la definición de función y por ende, dichos valores de x no pertenecen al dominio de la función.
En cuanto al dominio de la función, las funciones siguientes tienen un tratamiento distinto comparado al de una función racional.
\( f\,(x) = \displaystyle \frac{P\,(x)}{Q\,(x)}\), \( P\,(x) \neq 0\), P (x) y Q (x) ambas no son funciones polinomiales.
Para determinar el dominio de tales funciones, se deben considerar todos los valores de x en el dominio tanto del numerador [P (x)] como del denominador [Q (x)], excepto los que anulen el denominador [Q (x) = 0].
Dom f = Dom P (x) ∩ Dom Q (x) – { x ∈ ℝ / Q (x) = 0 }
Comentario del autor.
El problema asociado a determinar el dominio de una función racional se limita a resolver una ecuación polinomial [Q (x) = 0].
El polinomio Q (x) puede tener raíces reales o raíces complejas. El teorema fundamental del álgebra establece que el número de raíces (reales y complejas) de un polinomio es igual al grado del mismo, adicionalmente, si el polinomio es de grado 1, siempre tendrá una raíz real, mientras que si es de grado 2 o mayor, la existencia de raíces reales estará garantizada sólo cuando Q (x) sea de grado impar.
Las herramientas para resolver la ecuación Q (x) = 0 dependen de la forma que tiene Q (x). Usando tecnología, la mayoría de las calculadoras científicas resuelven ecuaciones de grado 2 y de grado 3. Conviene al lector consultar con su evaluador si permite el uso de estas herramientas. A nivel de lápiz y papel, si el polinomio Q (x) es de grado 2, es conveniente aplicar la fórmula de solución de la ecuación de segundo grado, mientras que si es de grado 3 o mayor, debe aplicarse el método de Ruffini, teniendo en cuenta que si se aplica el método de Ruffini, al reducir el polinomio a uno de grado 2, usar inmediatamente la fórmula de solución de la ecuación de segundo grado, puesto que se corre el riesgo de que estas dos últimas raíces sean complejas y la aplicación del tanteo con el método de Ruffini resulte en una pérdida de tiempo.
Gráfica de la función racional.
En esta sección se procederá a realizar la gráfica de la función sólo cuando la simplificación de la expresión racional conduzca a un tipo de función previamente analizado (constante, lineal, cuadrática). Podríamos realizar la gráfica punto por punto, pero en principio no hay un criterio general para elegir los valores de x a sustituir en la función, y en segundo lugar la gráfica obtenida es posible que no sea representativa de la función analizada en el intervalo de valores de x seleccionados. Finalmente, dado que el trazado de la gráfica de este tipo de funciones requiere técnicas avanzadas de cálculo, se analizará en capítulos posteriores.
Rango de la función racional.
Una de las formas de determinar el rango de la función racional es a partir de la gráfica. Puesto que dicha gráfica no será requerida en forma explícita, el rango de la función tampoco lo será.
Conclusión: A este nivel, para la función racional sólo se requerirá determinar el dominio de la función, sin considerar la gráfica y el rango, con la excepción citada arriba en que la simplificación de la expresión racional conduzca a una función constante, lineal o cuadrática.
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