Descripción
Hallar dos números positivos que minimicen la suma del doble del primero más el segundo, si el producto de los números es 288.
Referencia:
Ejemplo 2. Sección 5.1 del Larson – Hostetler. Segunda Edición. Página 202.
SOLUCIÓN DEL EJERCICIO.
Sean x e y los números buscados.
En base a la condición conocida (el producto de los números es 288), se tiene:
x y = 288 (Ecuación 1)
La función objetivo es la suma del doble del primero más el segundo, que se expresa de la siguiente manera:
S = 2 x + y (Ecuación 2)
Es necesario expresar la función objetivo S en función de una sola variable. De la ecuación (1) se despeja la variable y:
\( \displaystyle y=\frac{288}{x}\) (Ecuación 3)
Se sustituye la ecuación (3) en la ecuación (2):
\( \displaystyle S=2\,x+\frac{288}{x}\) (Ecuación 4)
Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.
Para un valor extremo de la suma:
\( \displaystyle \frac{d\,S}{d\,x}=0\) (Condición 1)
Al derivar la ecuación (4):
\( \displaystyle \frac{d\,S}{d\,x}=2-\frac{288}{x^2}\) (Ecuación 5)
Al aplicar la condición (1) y la ecuación (5):
\( \displaystyle 2-\frac{288}{x^2}=0\)
Resolver la ecuación anterior con el objeto de determinar los valores críticos.
\( \displaystyle \frac{288}{x^2}=2\)
\( \displaystyle x^2=\frac{288}{2}\)
x2 = 144
\( \displaystyle x=\pm\sqrt{144}\)
x = ± 12
x1 = – 12
x2 = 12
Valores críticos: x = – 12 y x = 12.
Puesto que se trata de números positivos, se analiza x = 12.
Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.
Al derivar la ecuación (5):
\( \displaystyle \frac{d^2S}{d\,x^2}=\frac{576}{x^3}\)
Al evaluar en x = 12:
\( \displaystyle \frac{d^2S}{d\,x^2}\,\bigg\vert_{x=12}=\frac{576}{(12)^3}=\frac{576}{1728}=\frac{1}{3}\)
Puesto que \( \displaystyle \frac{d^2S}{d\,x^2}\,\bigg\vert_{x=12}>0\), la función presenta un mínimo relativo en x = 12.
El correspondiente valor de y se obtiene mediante la sustitución de x = 12 en la ecuación (3):
\( \displaystyle y=\frac{288}{12}\)
y = 24
Conclusión.
Los números buscados son:
x = 12
y = 24
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