EJERCICIO 16

Descripción

Calcular \( \displaystyle \int\frac{d\,x}{x^2\sqrt{9-x^2}}\).

Referencias:

Ejemplo 1. Sección 10.6 del Larson. Segunda Edición. Página 466.

Ejemplo 117 del Filippis. Página 291.

Ejemplo 6.5 del Cortés. Octava Edición. Página 169.

SOLUCIÓN DEL EJERCICIO.

El integrando tiene la forma \( \displaystyle\sqrt{a^2-u^2}\), se hace la sustitución:

x = 3 sen θ

d x = 3 cos θ d θ                    

\( \sqrt{9 – x^2} = \sqrt{9 – (3 \sin \theta)^2} \)

\(\sqrt{9 – x^2}= \sqrt{9 – 9 \sin^2 \theta} \)

\(\sqrt{9 – x^2}= \sqrt{9\,(1 – \sin^2 \theta)} \)

\(\sqrt{9 – x^2}= \sqrt{9 \cos^2 \theta} \)

\(\sqrt{9 – x^2}= 3 \cos \theta \)

Al sustituir d x = 3 cos θ d θ, x = 3 sen θ y \( \displaystyle\sqrt{9-x^2}=3\,\cos\theta\) en la integral:

\( \displaystyle \int\frac{d\,x}{x^2\sqrt{9-x^2}}=\int\frac{3\,\cos\theta\,d\,\theta}{(3 \sin \theta)^2\,(3\,\cos\theta)}\)

\( \displaystyle \int\frac{d\,x}{x^2\sqrt{9-x^2}}=\int\frac{3\,\cos\theta\,d\,\theta}{9 \sin^2\theta\cdot 3\,\cos\theta}\)

Al simplificar los valores numéricos el factor cos θ:

\( \displaystyle \int\frac{d\,x}{x^2\sqrt{9-x^2}}=\int\frac{d\,\theta}{9 \sin^2\theta}\)

\( \displaystyle \int\frac{d\,x}{x^2\sqrt{9-x^2}}=\frac{1}{9}\int\frac{d\,\theta}{\sin^2\theta}\)

\( \displaystyle \int\frac{d\,x}{x^2\sqrt{9-x^2}}=\frac{1}{9}\int \csc^2\theta\,d\,\theta\)

La integración conduce a:

\( \displaystyle \int\frac{d\,x}{x^2\sqrt{9-x^2}}=\frac{1}{9} (-\cot\theta)+C\)

\( \displaystyle \int\frac{d\,x}{x^2\sqrt{9-x^2}}=-\frac{1}{9} \cot\theta+C\) (1)

Para volver a la variable original se debe definir cot θ en función de x.

Partiendo de la sustitución trigonométrica realizada:

x = 3 sen θ

\( \displaystyle \sin\theta=\frac{x}{3}=\frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}\)

Se construye un triángulo rectángulo cuyo cateto opuesto es x e hipotenusa es 3. El lado faltante, se determina con la aplicación del teorema de Pitágoras.

Observe que la magnitud del lado faltante coincide con la expresión \( \displaystyle\sqrt{9-x^2}\) que se encuentra en el integrando.

A partir del triángulo obtenido, se define cot θ.

\( \displaystyle \cot\theta=\frac{\text{Cateto adyacente}}{\text{Cateto opuesto}}\)

\( \displaystyle \cot\theta=\frac{\sqrt{9-x^2}}{x}\)

Al sustituir en la Ecuación (1):

\( \displaystyle \int\frac{d\,x}{x^2\sqrt{9-x^2}}=-\frac{1}{9}\left(\frac{\sqrt{9-x^2}}{x}\right)+C \)

\( \displaystyle \int\frac{d\,x}{x^2\sqrt{9-x^2}}=-\frac{\sqrt{9-x^2}}{9\,x}+C \)