Descripción
El péndulo simple
El péndulo simple es otro sistema mecánico que muestra movimiento periódico. Consiste en una plomada parecida a una partícula de masa m suspendida de una cuerda ligera de longitud L que está fija en el extremo superior, como se muestra en la figura 1.
Figura 1. El péndulo simple.
El movimiento se presenta en el plano vertical y es impulsado por la fuerza gravitacional. Se demostrará que, siempre que el ángulo θ sea pequeño (menor que aproximadamente 10º), el movimiento es muy cercano al de un oscilador armónico simple.
Las fuerzas que actúan en la plomada son la fuerza T que ejerce la cuerda y la fuerza gravitacional m g. Estas fuerzas se muestran en la figura 2. La componente tangencial m g sen θ de la fuerza gravitacional siempre actúa hacia θ = 0, opuesta al desplazamiento de la plomada desde la posición más bajo. Por lo tanto, la componente tangencial es una fuerza restauradora y se puede aplicar la segunda ley de Newton del movimiento en la dirección tangencial:
Figura 2. La fuerza restauradora es –m g sen θ, la componente de la fuerza gravitacional tangente al arco. Cuando θ es pequeño, un péndulo simple oscila en movimiento armónico simple en torno a la posición de equilibrio θ = 0.
\(\displaystyle F_t=-m\,g\,\sin\theta=m\frac{d^2\theta}{d\,t^2}\) (1)
donde s es la posición de la plomada medida a lo largo del arco y el signo negativo indica que la fuerza tangencial actúa hacia la posición de equilibrio (vertical). Ya que s = L θ y L es constante, esta ecuación se reduce a
\(\displaystyle \frac{d^2\theta}{d\,t^2}=-\frac{g}{L}\text{sen}\,\theta\) (2)
Al considerar θ como la posición, y comparar con la ecuación
\(\displaystyle \frac{d^2x}{d\,t^2}=-\frac{k}{m}x\) (3)
no se tiene la misma forma matemática. El lado derecho es proporcional a sen θ en vez de θ; por eso, no se esperaría movimiento armónico simple porque esta ecuación (2) no tiene la forma de la ecuación (3). Sin embargo, si se supone que θ es pequeño (menor que aproximadamente 10º o 0.2 rad), se puede usar la aproximación de ángulo pequeño, en la que sen θ ≈ θ, donde θ se mide en radianes.
Por lo tanto, para ángulos pequeños, la ecuación de movimiento se convierte en
\(\displaystyle \frac{d^2\theta}{d\,t^2}=-\frac{g}{L}\theta\) (4)
La ecuación (4) tiene la misma forma que la ecuación (3), así se concluye que el movimiento para amplitudes de oscilación pequeñas se puede modelar como movimiento armónico simple. En consecuencia, la solución de la ecuación (4) es
θ = θmax cos (ω t + ϕ)
donde θmax es la posición angular máxima y la frecuencia angular ω es
\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{g}{L}}\) (5)
El periodo del movimiento es
\(\displaystyle T=\frac{2\,\pi}{\omega}=2\,\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\) (6)
En otras palabras, el periodo y la frecuencia de un péndulo simple sólo depende de la longitud de la cuerda y de la aceleración debida a la gravedad. Ya que el periodo es independiente de la masa, se concluye que todos los péndulos simples que son de igual longitud y están en la misma ubicación (de modo que g es constante) oscilan con el mismo periodo.
El péndulo simple se puede usar como cronómetro porque su periodo sólo depende de su longitud y del valor local de g. También es un dispositivo conveniente para hacer mediciones precisas de la aceleración en caída libre. En tales condiciones son importantes porque las variaciones en los valores locales de g pueden proporcionar información acerca de la ubicación de petróleo y otros recursos subterráneos valiosos.
