Descripción
Dada la ecuación de onda en una cuerda y ( x , t ) = 0.03 sen (3 x – 2 t), donde y y x están en metros y t en segundos, contestar lo siguiente: a) para t = 0, ¿cuál es el desplazamiento cuando x = 0.1 m, 0.2 m y 0.3 m? b) Para x = 0.1 m, ¿cuál es el desplazamiento cuando t = 0, 0.1 s y 0.2 s? c) ¿Cuál es la ecuación de la velocidad de oscilación de las partículas de la cuerda? ¿Cuál es la velocidad máxima de oscilación? d) ¿Cuál es la velocidad de propagación de la onda?
Referencias:
Problema 18.9 del Alonso / Finn. Página 737.
Tercer Examen Parcial. Prof. Willians Medina. Universidad de Oriente. Núcleo de Anzoátegui. Venezuela. Periodo III-2025.
Solución.
Ecuación de la onda: y ( x , t ) = 0.03 sen (3 x – 2 t)
a) Para t = 0.
y ( x , 0 ) = 0.03 sen (3 x)
x = 0.1 m:
y ( 0.1 , 0 ) = 0.03 sen (3 × 0.1)
= 0.03 sen (0.3)
= 8.86×10–3 m
x = 0.2 m:
y ( 0.2 , 0 ) = 0.03 sen (3 × 0.2)
= 0.03 sen (0.6)
= 1.69×10–2 m
x = 0.3 m:
y ( 0.3 , 0 ) = 0.03 sen (3 × 0.3)
= 0.03 sen (0.9)
= 2.35×10–2 m
b) x = 0.1 m.
y ( 0.1 , t ) = 0.03 sen [3 (0.1) – 2 t]
y ( 0.1 , t ) = 0.03 sen (0.3 – 2 t)
t = 0 s.
y ( 0.1 , 0 ) = 0.03 sen [0.3 – 2 (0)]
= 0.03 sen (0.3)
= 8.86×10–3 m
t = 0.1 s.
y ( 0.1 , 0.1 ) = 0.03 sen [0.3 – 2 (0.1)]
= 0.03 sen (0.1)
= 2.99×10–3 m
t = 0.2 s.
y ( 0.1 , 0.1 ) = 0.03 sen [0.3 – 2 (0.2)]
= 0.03 sen (– 0.1)
= – 2.99×10–3 m
c) Velocidad de oscilación.
\(\displaystyle v_y = \frac{\partial\,y}{\partial\,t}\)
Al derivar la ecuación de onda con respecto a t:
vy ( x , t ) = 0.03 cos (3 x – 2 t) (– 2)
= – 0.06 cos (3 x – 2 t)
Velocidad máxima de oscilación.
vy,max = 0.06 m/s
d) Velocidad de propagación de la onda.
Velocidad de propagación de la onda.
\(\displaystyle v = \frac{\omega}{\kappa}\) (1)
De la ecuación de la onda y ( x , t ) = 0.03 sen (3 x – 2 t), se tiene:
Amplitud: A = 0.03 m
Número de onda angular: κ = 3 rad/m
Frecuencia angular: ω = 2 rad/s
Al sustituir valores en la ecuación (1):
\(\displaystyle v = \frac{2\,\text{rad/s}}{3\,\text{rad/m}}\)
v = 0.667 m/s
