Descripción
Dados los conjuntos A = { – 4 , – 2 , 1 , 3 , 4 } y B = { – 1 , 2 , 3 , 4 }, determine el producto cartesiano A × B. Indique la relación en la cual:
a) a es igual a b.
b) a es el triple de b.
c) a es menor o igual que b.
d) a es mayor que b.
Solución.
El producto cartesiano A × B es el conjunto de pares ordenados en los cuales la primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente al conjunto B, adicionalmente, se debe combinar cada elemento de A con todos los elementos de B. De esta manera, la primera combinación que resulta es: ( – 4 , – 1 ), luego ( – 4 , 2 ) y así sucesivamente hasta la combinación ( 4 , 4 ).
Producto cartesiano.
A × B =
{(– 4 , – 1) , (– 4 , 2) , (– 4 , 3) , (– 4 , 4) ,
(– 2 , – 1) , (– 2 , 2) , (– 2 , 3) , (– 2 , 4) ,
(1 , – 1) , (1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) ,
(3 , – 1) , (3 , 2) , (3 , 3) , (3 , 4) ,
(4 , – 1) , (4 , 2) , (4 , 3) , (4 , 4)}
Se ha escrito en la forma anterior con el objeto de ilustrar la formación de los elementos del producto cartesiano, sin embargo, la forma final se escribe como sigue:
A×B = {(– 4 , – 1) , (– 4 , 2) , (– 4 , 3) , (– 4 , 4) , (– 2 , – 1) , (– 2 , 2) , (– 2 , 3) , (– 2 , 4) , (1 , – 1) , (1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , (3 , – 1) , (3 , 2) , (3 , 3) , (3 , 4) , (4 , – 1) , (4 , 2) , (4 , 3) , (4 , 4) }
a) El elemento del conjunto A (a) es igual al elemento del conjunto B (b). En forma práctica, en el producto cartesiano la primera componente de cada par ordenado es igual a la segunda.
R1 = {(3 , 3) , (4 , 4)}
b) El elemento del conjunto A (a) es el triple del elemento del conjunto B (b). En forma práctica, en el producto cartesiano la primera componente de cada par ordenado es el triple de la segunda.
R2 = Ø
c) El elemento del conjunto A (a) es menor o igual que el elemento del conjunto B (b). En forma práctica, en el producto cartesiano la primera componente de cada par ordenado es menor o igual que la segunda.
R3 = {(– 4 , – 1) , (– 4 , 2) , (– 4 , 3) , (– 4 , 4) , (– 2 , – 1) , (– 2 , 2) , (– 2 , 3) , (– 2 , 4) , (1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , (3 , 3) , (3 , 4) , (4 , 4)}
d) El elemento del conjunto A (a) es mayor que el elemento del conjunto B (b). En forma práctica, en el producto cartesiano la primera componente de cada par ordenado es mayor que la segunda.
R4 = {(1 , – 1) , (3 , – 1) , (3 , 2) , (4 , – 1) , (4 , 2) , (4 , 3)}
