Descripción
Flujo a través de una sección de corona circular. Un fluido incompresible fluye en estado estacionario a través de la región comprendida entre dos cilindros circulares coaxiales de radios k R y R.
Determinar.
a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento.
b) Distribución de velocidad.
c) Velocidad máxima.
d) Velocidad media.
e) Velocidad volumétrica de flujo.
f) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido interior.
g) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido exterior.
Referencia: Sección 2.4 del Bird. Página 2.18.
Solución.
El ejercicio propuesto difiere del Ejercicio 1 sólo en las condiciones de borde:
Para r = k R: vz = 0 y para r = R: vz = 0.
Condiciones:
Estado estacionario.
Flujo laminar.
Propiedades del fluido constantes (ρ, μ).
Fluido Newtoniano.
Efectos de borde despreciables.
Flujo longitudinal (en dirección z): vr = 0, vθ = 0, vz ≠ 0.
La velocidad varía en función de r: vz = vz (r).
Balance de cantidad de movimiento.
2 π r L τrz | r – 2 π r L τrz | r + ∆ r + 2 π r ∆ r L ρ gz + 2 π r ∆ r (p0 – pL) = 0
gz es la componente gravitacional en la dirección del flujo. En este caso gz = g.
2 π r L τrz | r – 2 π r L τrz | r + ∆ r + 2 π r ∆ r L ρ g + 2 π r ∆ r (p0 – pL) = 0 (1)
Al dividir entre 2 π L:
\( \displaystyle r\,\tau_{rz} \big|_{r} – r\,\tau_{rz} \big|_{r + \Delta\,r} + r\,\Delta\,r \,\rho\,g + r\,\Delta\,r \frac{(p_{0} – p_{L})}{L} = 0 \)
\( \displaystyle r\,\tau_{rz} \big|_{r} – r\,\tau_{rz} \big|_{r + \Delta\,r} + \left(\rho\,g + \frac{p_{0} – p_{L}}{L}\right) r\,\Delta\,r = 0 \)
Sea \( \displaystyle \rho\,g + \frac{p_{0} – p_{L}}{L} = \frac{P_0-P_L}{L} \)
\( \displaystyle r\,\tau_{rz} \big|_{r} – r\,\tau_{rz} \big|_{r + \Delta\,r} + \left( \frac{P_{0} – P_{L}}{L}\right) r\,\Delta\,r = 0 \)
\( \displaystyle r\,\tau_{rz} \big|_{r} – r\,\tau_{rz} \big|_{r + \Delta\,r} =- \left( \frac{P_{0} – P_{L}}{L}\right) r\,\Delta\,r \)
Al multiplicar por (– 1) la ecuación anterior:
\( \displaystyle r\,\tau_{rz} \big|_{r + \Delta\,r} – r\,\tau_{rz} \big|_{r} = \left( \frac{P_{0} – P_{L}}{L}\right) r\,\Delta\,r \)
\( \displaystyle \frac{r\,\tau_{rz} \big|_{r + \Delta\,r} – r\,\tau_{rz} \big|_{r}}{\Delta\,r} = \left( \frac{P_{0} – P_{L}}{L}\right) r \)
Tomando el límite cuando ∆ r → 0 en la ecuación anterior:
\( \displaystyle \lim_{\Delta\,r \to 0}\frac{r\,\tau_{rz} \big|_{r + \Delta\,r} – r\,\tau_{rz} \big|_{r}}{\Delta\,r} = \lim_{\Delta\,r \to 0} \left( \frac{P_{0} – P_{L}}{L}\right) r \)
\( \displaystyle \lim_{\Delta\,r \to 0}\frac{r\,\tau_{rz} \big|_{r + \Delta\,r} – r\,\tau_{rz} \big|_{r}}{\Delta\,r} = \left( \frac{P_{0} – P_{L}}{L}\right) r \)
Aplicando la definición de derivada:
\( \displaystyle \frac{d}{d\,r}(r\,\tau_{rz})=\left(\frac{P_0-P_L}{L}\right) r \)
Al separar variables en la ecuación anterior:
\( \displaystyle d\,(r\,\tau_{rz})=\left(\frac{P_0-P_L}{L}\right) r\,d\,r \)
Integrando ambos miembros de la ecuación:
\( \displaystyle \int d\,(r\,\tau_{rz})=\int \left(\frac{P_0-P_L}{L}\right) r\,d\,r \)
\( \displaystyle \int d\,(r\,\tau_{rz})=\left(\frac{P_0-P_L}{L}\right)\int r\,d\,r \)
La integración conduce a:
\( \displaystyle r\,\tau_{rz} = \left(\frac{P_0 – P_L}{L} \right) \left(\frac{r^2}{2}\right) + C_1 \)
\( \displaystyle r\,\tau_{rz} = \left( \frac{P_0 – P_L}{2\,L} \right) r^2 + C_1 \)
\( \displaystyle \tau_{rz} = \left(\frac{P_0 – P_L}{2\,L} \right) r + \frac{C_1}{r} \) (2)
La constante C1 no puede determinarse de forma inmediata, puesto que no disponemos de información acerca de la densidad de flujo de cantidad de movimiento en ninguna de las dos superficies x = k R ó x = R.
Fluido Newtoniano:
\( \displaystyle \tau_{rz} = -\mu \frac{d\,v_z}{d\,r} \) (3)
Al sustituir la ecuación (3) en la ecuación (2):
\( \displaystyle -\mu \frac{d\,v_z}{d\,r} = \left(\frac{P_0 – P_L}{2\,L} \right) r + \frac{C_1}{r}\)
Al separar las variables en la ecuación anterior:
\( \displaystyle d\,v_z = \left[-\left(\frac{P_0 – P_L}{2\,\mu\,L} \right) r – \frac{C_1}{\mu\,r}\right]\,d\,r \)
Al integrar ambos miembros de la ecuación:
\( \displaystyle \int d\,v_z = \int \left[-\left(\frac{P_0 – P_L}{2\,\mu\,L} \right) r – \frac{C_1}{\mu\,r}\right]\,d\,r \)
\( \displaystyle \int d\,v_z = \int -\left(\frac{P_0 – P_L}{2\,\mu\,L} \right)\,r\,d\,r – \int \frac{C_1}{\mu}\frac{d\,r}{r} \)
\( \displaystyle \int d\,v_z = -\left(\frac{P_0 – P_L}{2\,\mu\,L} \right) \int r\,d\,r – \frac{C_1}{\mu}\int \frac{d\,r}{r} \)
La integración conduce a:
\( \displaystyle v_z = -\left(\frac{P_0 – P_L}{2\,\mu\,L} \right) \left(\frac{r^2}{2}\right) -\frac{C_1}{\mu}\ln r + C_2 \)
\( \displaystyle v_z = -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) r^2 -\frac{C_1}{\mu}\ln r + C_2 \) (4)
Condición de borde: Para r = k R, vz = 0.
Al sustituir en la ecuación (4):
\( \displaystyle 0 = -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) (k\,R)^2 -\frac{C_1}{\mu}\ln (k\,R) + C_2 \)
\( \displaystyle 0 = -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) k^2R^2 -\frac{C_1}{\mu}\ln (k\,R) + C_2 \) (5)
Condición de borde: Para r = R: vz = 0.
Al sustituir en la ecuación (4):
\( \displaystyle 0 = -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) (R)^2 -\frac{C_1}{\mu}\ln (R) + C_2 \)
\( \displaystyle 0 = -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2 – \frac{C_1}{\mu}\ln R + C_2 \) (6)
Al restar las ecuaciones (5) y (6):
\( \displaystyle \left[-\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) k^2R^2 – \frac{C_1}{\mu}\ln (k\,R) + C_2\right]- \left[-\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2 – \frac{C_1}{\mu}\ln R + C_2\right] = 0 \)
\( \displaystyle -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) k^2R^2 – \frac{C_1}{\mu}\ln (k\,R) + C_2 + \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2 + \frac{C_1}{\mu}\ln R – C_2 = 0 \)
\( \displaystyle -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) k^2R^2 -\frac{C_1}{\mu}\ln (k\,R) + \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2 + \frac{C_1}{\mu}\ln R = 0 \)
\( \displaystyle \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2(1-k^2) + \frac{C_1}{\mu}[\ln R – \ln (k\,R)] = 0 \)
Por propiedades de los logaritmos: ln (k R) = ln k + ln R
\( \displaystyle \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2(1-k^2) + \frac{C_1}{\mu}(\ln R – \ln k – \ln R) = 0 \)
\( \displaystyle \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2(1-k^2) + \frac{C_1}{\mu}(- \ln k ) = 0 \)
\( \displaystyle \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2(1-k^2) + \frac{C_1}{\mu} \ln (1/k) = 0 \)
Al simplificar μ:
\( \displaystyle \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,L} \right) R^2(1-k^2) + C_1 \ln (1/k) = 0 \)
Al despejar C1 de la ecuación anterior:
\( \displaystyle C_1 = – \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,L} \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right) \) (7)
Al sustituir C1 en la ecuación (6) y despejar C2:
\( \displaystyle 0 = -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2 – \frac{\left[- \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,L} \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\right]}{\mu}\ln R + C_2 \)
\( \displaystyle 0 = -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2 + \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\ln R + C_2 \)
\( \displaystyle C_2 = \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2 – \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\ln R \) (8)
Al sustituir las ecuaciones (7) y (8) en la ecuación (4), la distribución de velocidad se expresa de la siguiente manera:
\( \displaystyle v_z = -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) r^2 -\frac{\left[- \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,L}\left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\right]}{\mu}\ln r + \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2 – \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \frac{(1-k^2)}{\ln(1/k)}\ln R \)
\( \displaystyle v_z = -\left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) r^2 + \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\ln r + \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) R^2 – \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\ln R \)
\( \displaystyle v_z = \left(\frac{P_0 – P_L}{4\,\mu\,L} \right) (R^2-r^2) + \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)(\ln r – \ln R) \)
\( \displaystyle v_z = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left(1-\frac{r^2}{R^2}\right) + \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\ln \left(\frac{r}{R}\right) \)
\( \displaystyle v_z = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right] + \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L}\left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\ln \left(\frac{r}{R}\right) \)
\( \displaystyle v_z = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2 + \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\ln \left(\frac{r}{R}\right)\right] \) (9)
a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento.
Al sustituir la ecuación (7) en la ecuación (2):
\( \displaystyle \tau_{rz} = \left(\frac{P_0 – P_L}{2\,L} \right) r + \frac{\left[- \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,L} \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\right]}{r} \)
\( \displaystyle \tau_{rz} = \left(\frac{P_0 – P_L}{2\,L} \right) r – \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,L} \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\frac{1}{r} \)
\( \displaystyle \tau_{rz} = \frac{(P_0 – P_L)\,R}{2\,L} \left(\frac{r}{R}\right) – \frac{(P_0 – P_L)\,R}{4\,L} \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\left(\frac{R}{r}\right) \)
\( \displaystyle \tau_{rz} = \frac{(P_0 – P_L)\,R}{2\,L} \left[\left(\frac{r}{R}\right) – \left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right)\left(\frac{R}{r}\right)\right] \) (10)
En la figura siguiente se muestra la distribución de velocidad y la distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento.
c) Velocidad máxima.
La velocidad es máxima cuando τrz = 0. De la ecuación (10):
\( \displaystyle \frac{(P_0 – P_L)\,R}{2\,L} \left[\left(\frac{r}{R}\right) – \left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right)\left(\frac{R}{r}\right)\right] = 0 \)
\( \displaystyle \left(\frac{r}{R}\right) – \left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right)\left(\frac{R}{r}\right) = 0 \)
\( \displaystyle \frac{r}{R} – \left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right)\frac{R}{r} = 0 \)
\( \displaystyle \frac{r}{R} = \left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right)\frac{R}{r}\)
\( \displaystyle \frac{r^2}{R^2} = \frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\)
\( \displaystyle r^2 = \frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}R^2\)
\( \displaystyle r = \sqrt{\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}}R\) (11)
Al sustituir la ecuación (11) en la ecuación (9):
\( \displaystyle v_z = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2 + \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\ln \left(\frac{r}{R}\right)\right] \) (9)
\( \displaystyle v_{z,max} = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left[1-\left[\sqrt{\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}}\right]^2 + \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\ln \left[\sqrt{\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}}\right]\right] \)
\( \displaystyle v_{z,max} = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left[1-\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)} + \left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right)\ln \left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right)\right] \)
\( \displaystyle v_{z,max} = \frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left[1-\left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right) \left[ 1 – \ln \left(\frac{1-k^2}{2\,\ln(1/k)}\right)\right]\right] \) (12)
d) Velocidad media.
\( \displaystyle <v_z> = \displaystyle \frac{\int_0^{2\,\pi}\int_{k\,R}^R v_z\,r\,d\,r\,d\, \theta}{\int_0^{2\,\pi}\int_{k\,R}^R r\,d\,r\,d\,\theta} \) (13)
Al sustituir la ecuación (9) en la ecuación (13):
\( \displaystyle <v_z> = \displaystyle \frac{\int_0^{2\,\pi}\int_{k\,R}^R \left[\frac{(P_0 – P_L)\,R^2}{4\,\mu\,L} \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2 + \left(\frac{1-k^2}{\ln(1/k)}\right)\ln \left(\frac{r}{R}\right)\right]\right]\,r\,d\,r\,d\, \theta}{\int_0^{2\,\pi}\int_{k\,R}^R r\,d\,r\,d\,\theta} \)
