Descripción
La ecuación de Van der Waals da una relación entre la presión P (en atm), volumen V (en L) y la temperatura T (K) para un gas real:
\(\displaystyle P=\frac{n\,R\,T}{V-n\,b}-\frac{n^2a}{V^2}\)
donde n es el número de moles, R = 0.082054 L.atm/mol.K es la constante del gas, a (L2.atm/mol2) y b (L/mol) son constantes materiales. Considere 1.5 moles del gas (a = 12.02, b = 0.08407) a una temperatura de 400 K almacenados en un recipiente a presión. Determine el volumen del recipiente si la presión es 2.5 atm.
a) Aplique 10 iteraciones del método de bisección en el intervalo [ 19 , 20 ] para aproximar el volumen. Trabaje con 6 decimales con redondeo.
b) Realice una búsqueda incremental en el intervalo inicial [ 19 , 20 ] con un ancho de paso d = 0.1 L, y luego aplicar el método de bisección con la misma estimación εs obtenida en a). ¿Cuántas iteraciones son necesarias?
Referencia: Guía de Ejercicios. Prof. Juan Hurtado. Universidad de Oriente. Núcleo de Anzoátegui. Venezuela. Periodo III-2025.
Solución.
Número de iteraciones: N = 10
Intervalo: [ 19 , 20 ]
\(\displaystyle P=\frac{n\,R\,T}{V-n\,b}-\frac{n^2a}{V^2}\) (1)
Para aproximar el valor de la variable V, se sustituyen los parámetros conocidos en la ecuación (1) con el objeto de obtener una ecuación en una variable (V).
\(\displaystyle 2.5=\frac{(1.5)\,(0.082054)\,(400)}{V-(1.5)\,(0.08407)}-\frac{(1.5)^2(12.02)}{V^2}\)
\(\displaystyle 2.5=\frac{49.2324}{V-0.126105}-\frac{27.045}{V^2}\)
\(\displaystyle \frac{49.2324}{V-0.126105}-\frac{27.045}{V^2}-2.5=0\)
Definimos \(\displaystyle f\,(V)=\frac{49.2324}{V-0.126105}-\frac{27.045}{V^2}-2.5\).
a) Aplicación del método de biseeción para encontrar la raíz de f (V).
Verificamos la existencia de una raíz en el intervalo dado.
\(\displaystyle f\,(a)=f\,(19)=\frac{49.2324}{19-0.126105}-\frac{27.045}{(19)^2}-2.5=0.033575\)
\(\displaystyle f\,(b)=f\,(20)=\frac{49.2324}{20-0.126105}-\frac{27.045}{(20)^2}-2.5=-0.090373\)
Puesto que la función evaluada en los extremos del intervalo tiene signos opuestos, se cumple que f (a) × f (b) < 0.
Gráficamente:
Condiciones para la aplicación del método de bisección para \(\displaystyle f\,(V)=\frac{49.2324}{V-0.126105}-\frac{27.045}{V^2}-2.5\) en [ 19 , 20 ].
Primera iteración (i = 1). a1 = 19, b1 = 20.
\(\displaystyle V_1=\frac{a_1+b_1}{2}=\frac{19+20}{2}=\frac{39}{2}=19.5\)
\(\displaystyle f\,(V_1)=f\,(19.5)=\frac{49.2324}{19.5-0.126105}-\frac{27.045}{(19.5)^2}-2.5=-0.029952\)
En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error relativo de aproximación, puesto que solamente tenemos la primera aproximación.
La tabla siguiente resume los resultados de la primera iteración:
|
i |
ai |
bi |
Vi |
f (ai) |
f (bi) |
f (Vi) |
εa,i, % |
|
1 |
19 |
20 |
19.5 |
0.033575 |
-0.090373 |
-0.029952 |
– |
f (V1) tiene el mismo signo que f (b1), b2 = V1
Intervalo que contiene la solución: [ 19 , 19.5 ].
En la figura siguiente se observa el principio del método. El intervalo original se ha dividido a la mitad, lo cual conduce a dos intervalos: [ 19 , 19.5 ] y [ 19.5 , 20 ]. Para continuar con el método, se elige el intervalo que contiene la solución.
Primera iteración del método de bisección para \(\displaystyle f\,(V)=\frac{49.2324}{V-0.126105}-\frac{27.045}{V^2}-2.5\) en [ 19 , 20 ].
Segunda iteración (i = 2). a2 = 19, b2 = 19.5.
\(\displaystyle V_2=\frac{a_2+b_2}{2}=\frac{19+19.5}{2}=\frac{38.5}{2}=19.25\)
\(\displaystyle f\,(V_2)=f\,(19.25)=\frac{49.2324}{19.25-0.126105}-\frac{27.045}{(19.25)^2}-2.5=0.001408\)
Aquí podemos calcular el primer error relativo porcentual de aproximación, puesto que contamos ya con la aproximación actual y la aproximación anterior:
\(\displaystyle \epsilon_{a,2}=\bigg\vert\frac{V_2-V_1}{V_2}\bigg\vert\times 100=\bigg\vert\frac{19.25-19.5}{19.25}\bigg\vert\times 100 =1.298701\text{%}\)
La tabla siguiente resume los resultados de la segunda iteración:
|
i |
ai |
bi |
Vi |
f (ai) |
f (bi) |
f (Vi) |
εa,i, % |
|
1 |
19 |
20 |
19.5 |
0.033575 |
-0.090373 |
-0.029952 |
– |
|
2 |
19 |
19.5 |
19.25 |
0.033575 |
-0.029952 |
0.001408 |
1.298701 |
f (V2) tiene el mismo signo que f (a2), a3 = V2
Intervalo que contiene la solución: [ 19.25 , 19.5 ].
Gráficamente:
Segunda iteración del método de bisección para \(\displaystyle f\,(V)=\frac{49.2324}{V-0.126105}-\frac{27.045}{V^2}-2.5\) en [ 19 , 20 ].
Tercera iteración (i = 3). a3 = 19.25, b3 = 19.5.
\(\displaystyle V_3=\frac{a_3+b_3}{2}=\frac{19.25+19.5}{2}=\frac{38.75}{2}=19.375\)
\(\displaystyle f\,(V_3)=f\,(19.375)=\frac{49.2324}{19.375-0.126105}-\frac{27.045}{(19.375)^2}-2.5=-0.014371\)
Error relativo porcentual de aproximación.
\(\displaystyle \epsilon_{a,3}=\bigg\vert\frac{V_3-V_2}{V_3}\bigg\vert\times 100=\bigg\vert\frac{19.375-19.25}{19.375}\bigg\vert\times 100 =0.645161\text{%}\)
La tabla siguiente resume los resultados de la tercera iteración:
|
i |
ai |
bi |
Vi |
f (ai) |
f (bi) |
f (Vi) |
εa,i, % |
|
1 |
19 |
20 |
19.5 |
0.033575 |
-0.090373 |
-0.029952 |
– |
|
2 |
19 |
19.5 |
19.25 |
0.033575 |
-0.029952 |
0.001408 |
1.298701 |
|
3 |
19.25 |
19.5 |
19.375 |
0.001408 |
-0.029952 |
-0.014371 |
0.645161 |
f (V3) tiene el mismo signo que f (b3), b4 = V3
Intervalo que contiene la solución: [ 19.25 , 19.375 ].
Gráficamente:
Tercera iteración del método de bisección para \(\displaystyle f\,(V)=\frac{49.2324}{V-0.126105}-\frac{27.045}{V^2}-2.5\) en [ 19 , 20 ].
Los resultados que se obtienen de la aplicación del método se resumen en la siguiente tabla:
|
i |
ai |
bi |
Vi |
f (ai) |
f (bi) |
f (Vi) |
εa,i, % |
|
1 |
19 |
20 |
19.5 |
0.033575 |
-0.090373 |
-0.029952 |
– |
|
2 |
19 |
19.5 |
19.25 |
0.033575 |
-0.029952 |
0.001408 |
1.298701 |
|
3 |
19.25 |
19.5 |
19.375 |
0.001408 |
-0.029952 |
-0.014371 |
0.645161 |
|
4 |
19.25 |
19.375 |
19.3125 |
0.001408 |
-0.014371 |
-0.006506 |
0.323625 |
|
5 |
19.25 |
19.3125 |
19.28125 |
0.001408 |
-0.006506 |
-0.002555 |
0.162075 |
|
6 |
19.25 |
19.28125 |
19.265625 |
0.001408 |
-0.002555 |
-0.000575 |
0.081103 |
|
7 |
19.25 |
19.265625 |
19.257813 |
0.001408 |
-0.000575 |
0.000416 |
0.040565 |
|
8 |
19.257813 |
19.265625 |
19.261719 |
0.000416 |
-0.000575 |
-0.000080 |
0.020279 |
|
9 |
19.257813 |
19.261719 |
19.259766 |
0.000416 |
-0.000080 |
0.000168 |
0.01014 |
|
10 |
19.259766 |
19.261719 |
19.260743 |
0.000168 |
-0.000080 |
0.000044 |
0.005072 |
La solución de la ecuación \(\displaystyle \frac{49.2324}{V-0.126105}-\frac{27.045}{V^2}-2.5=0\) es V10 = 19.260743, obtenida aplicando el método de bisección en el intervalo [ 19 , 20 ] con 10 iteraciones. El error relativo porcentual de aproximación es 0.005072%.
b) Búsqueda incremental con d = 0.2 en el intervalo [ 19 , 20 ].
Se determina el valor de la función f (V) para valores entre 19 y 20 con incrementos de 0.1.
Se muestra un cálculo para V = 19 y V = 19.1.
Para V = 19:
\(\displaystyle f\,(19)=\frac{49.2324}{19-0.126105}-\frac{27.045}{(19)^2}-2.5=0.033575\)
Para V = 19.1:
\(\displaystyle f\,(19.1)=\frac{49.2324}{19.1-0.126105}-\frac{27.045}{(19.1)^2}-2.5=0.020610\)
Para el resto de los valores, los resultados se resumen en una tabla.
|
V |
f (V) |
|
19 |
0.033575 |
|
19.1 |
0.020610 |
|
19.2 |
0.007776 |
|
19.3 |
-0.004927 |
|
19.4 |
-0.017503 |
|
19.5 |
-0.029952 |
|
19.6 |
-0.042277 |
|
19.7 |
-0.054480 |
|
19.8 |
-0.066563 |
|
19.9 |
-0.078526 |
|
20. |
-0.090373 |
El cambio de signo para la función f (V) ocurre cuando V se encuentra entre 19.2 y 19.3. En ese intervalo existe por lo menos una raíz de la función. De esta manera tenemos un intervalo [ 19.2 , 19.3 ] más pequeño que [ 19 , 20 ] para encontrar la raíz aproximada de la función.
En las figuras siguientes se muestran las gráficas de la función f (V) en el intervalo [ 19 , 20 ] y [ 19.2 , 19.3 ].
Observamos que existe una raíz de la ecuación en el intervalo [ 19 , 20 ].
Un intervalo más pequeño que contiene a la raíz de la ecuación es [ 19.2 , 19.3 ] tal como lo encontramos en la búsqueda incremental.
Aplicación del método de biseeción para encontrar la raíz de f (V).
El mecanismo de paro es el error relativo porcentual de estimación. Para cada iteración se determina el error relativo porcentual de estimación y se compara con el valor determinado en el ítem a) (εs = 0.005072%).
Primera iteración (i = 1). a1 = 19.2, b1 = 19.3.
\(\displaystyle V_1=\frac{a_1+b_1}{2}=\frac{19.2+19.3}{2}=\frac{38.5}{2}=19.25\)
\(\displaystyle f\,(V_1)=f\,(19.25)=\frac{49.2324}{19.25-0.126105}-\frac{27.045}{(19.25)^2}-2.5=0.001408\)
En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error de aproximación, puesto que solamente tenemos la primera aproximación.
La tabla siguiente resume los resultados de la primera iteración:
|
i |
ai |
bi |
Vi |
f (ai) |
f (bi) |
f (Vi) |
εa,i, % |
|
1 |
19.2 |
19.3 |
19.25 |
0.007776 |
-0.004927 |
0.001408 |
– |
f (V1) tiene el mismo signo que f (a1), a2 = V1
Intervalo que contiene la solución: [ 19.25 , 19.3 ].
En la figura siguiente se observa el principio del método. El intervalo original se ha dividido a la mitad, lo cual conduce a dos intervalos: [ 19.2 , 19.25 ] y [ 19.25 , 19.3 ]. Para continuar con el método, se elige el intervalo que contiene la solución.
Primera iteración del método de bisección para \(\displaystyle f\,(V)=\frac{49.2324}{V-0.126105}-\frac{27.045}{V^2}-2.5\) en [ 19.2 , 19.3 ].
Segunda iteración (i = 2). a2 = 19.25, b2 = 19.3.
\(\displaystyle V_2=\frac{a_2+b_2}{2}=\frac{19.25+19.3}{2}=\frac{38.55}{2}=19.275\)
\(\displaystyle f\,(V_2)=f\,(19.275)=\frac{49.2324}{19.275-0.126105}-\frac{27.045}{(19.275)^2}-2.5=-0.001764\)
Aquí podemos calcular el primer error relativo porcentual de aproximación, puesto que contamos ya con la aproximación actual y la aproximación anterior:
\(\displaystyle \epsilon_{a,2}=\bigg\vert\frac{V_2-V_1}{V_2}\bigg\vert\times 100=\bigg\vert\frac{19.275-19.25}{19.275}\bigg\vert\times 100 =0.129702\text{%}\)
εa,2 (0.129702%) > εs (0.005072%). Se requiere una iteración adicional.
La tabla siguiente resume los resultados de la segunda iteración:
|
i |
ai |
bi |
Vi |
f (ai) |
f (bi) |
f (Vi) |
εa,i, % |
|
1 |
19.2 |
19.3 |
19.25 |
0.007776 |
-0.004927 |
0.001408 |
– |
|
2 |
19.25 |
19.3 |
19.275 |
0.001408 |
-0.004927 |
-0.001764 |
0.129702 |
f (V2) tiene el mismo signo que f (b2), b3 = V2
Intervalo que contiene la solución: [ 19.25 , 19.275 ].
Gráficamente:
Segunda iteración del método de bisección para \(\displaystyle f\,(V)=\frac{49.2324}{V-0.126105}-\frac{27.045}{V^2}-2.5\) en [ 19.2 , 19.3 ].
Tercera iteración (i = 3). a3 = 19.25, b3 = 19.275.
\(\displaystyle V_3=\frac{a_3+b_3}{2}=\frac{19.25+19.275}{2}=\frac{38.525}{2}=19.2625\)
\(\displaystyle f\,(V_2)=f\,(19.2625)=\frac{49.2324}{19.2625-0.126105}-\frac{27.045}{(19.2625)^2}-2.5=-0.000179\)
Error relativo porcentual de aproximación.
\(\displaystyle \epsilon_{a,3}=\bigg\vert\frac{V_3-V_2}{V_3}\bigg\vert\times 100=\bigg\vert\frac{19.2625-19.275}{19.2625}\bigg\vert\times 100 =0.064893\text{%}\)
εa,3 (0.064893%) > εs (0.005072%). Se requiere una iteración adicional.
La tabla siguiente resume los resultados de la tercera iteración:
|
i |
ai |
bi |
Vi |
f (ai) |
f (bi) |
f (Vi) |
εa,i, % |
|
1 |
19.2 |
19.3 |
19.25 |
0.007776 |
-0.004927 |
0.001408 |
– |
|
2 |
19.25 |
19.3 |
19.275 |
0.001408 |
-0.004927 |
-0.001764 |
0.129702 |
|
3 |
19.25 |
19.275 |
19.2625 |
0.001408 |
-0.001764 |
-0.000179 |
0.064893 |
f (V3) tiene el mismo signo que f (b3), b4 = V3
Intervalo que contiene la solución: [ 19.25 , 19.2625 ].
Gráficamente:
Tercera iteración del método de bisección para \(\displaystyle f\,(V)=\frac{49.2324}{V-0.126105}-\frac{27.045}{V^2}-2.5\) en [ 19.2 , 19.3 ].
Los resultados que se obtienen de la aplicación del método se resumen en la siguiente tabla:
|
i |
ai |
bi |
Vi |
f (ai) |
f (bi) |
f (Vi) |
εa,i, % |
|
1 |
19.2 |
19.3 |
19.25 |
0.007776 |
-0.004927 |
0.001408 |
0.25974 |
|
2 |
19.25 |
19.3 |
19.275 |
0.001408 |
-0.004927 |
-0.001764 |
0.129702 |
|
3 |
19.25 |
19.275 |
19.2625 |
0.001408 |
-0.001764 |
-0.000179 |
0.064893 |
|
4 |
19.25 |
19.2625 |
19.25625 |
0.001408 |
-0.000179 |
0.000615 |
0.032457 |
|
5 |
19.25625 |
19.2625 |
19.259375 |
0.000615 |
-0.000179 |
0.000218 |
0.016226 |
|
6 |
19.259375 |
19.2625 |
19.260938 |
0.000218 |
-0.000179 |
0.000020 |
0.008115 |
|
7 |
19.260938 |
19.2625 |
19.261719 |
0.000020 |
-0.000179 |
-0.000080 |
0.004055 |
La solución de la ecuación \(\displaystyle \frac{49.2324}{V-0.126105}-\frac{27.045}{V^2}-2.5=0\) es V7 = 19.261719, obtenida aplicando el método de bisección en el intervalo [ 19.2 , 19.3 ] con 7 iteraciones. El error relativo porcentual de aproximación es 0.004055%.
