Descripción
Un cable catenario es aquel que cuelga entre dos puntos que no están en la misma línea verticual. El cable no está sujeto a otras cargas más que a su propio peso. Así que su peso w (N/m) actúa como una carga uniforme por unidad de longitud a lo largo del cable. y son las fuerzas de tensión en sus extremos. Considerando los equilibrios de fuerzas horizontal y vertical, se puede obtener el siguiente modelo de ecuación diferencial del cable:
\(\displaystyle \frac{d^2y}{d\,x^2}=\frac {w}{T_A}\sqrt{1+\left(\frac{d\,y}{d\,x}\right)^2}\)
El cálculo se utiliza para resolver esta ecuación para la altura y en función de la distancia x.
\(\displaystyle y = \frac{T_A}{w}\cosh\left(\frac{w}{T_A}x\right)+y_0-\frac{T_A}{w}\)
donde el coseno hiperbólico se calcula por \(\displaystyle \cosh x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})\).
a) Con un método numérico calcule un valor para el parámetro TA los valores de los parámetros w = 10 y y0 = 5, de tal forma que el cable tenga una altura de y = 15 para x = 50.
b) Determine la localización de la altura mínima para el caso descrito en el inciso a).
Trabaje con seis decimales con redondeo.
Referencias:
Problema 8.17 del Chapra – Canale. Cuarta Edición. Página 216.
Guía de Ejercicios. Prof. Juan Hurtado. Universidad de Oriente. Núcleo de Anzoátegui. Venezuela. Periodo III-2025.
Solución.
Determinación de la ecuación a resolver.
\(\displaystyle y = \frac{T_A}{w}\cosh\left(\frac{w}{T_A}x\right)+y_0-\frac{T_A}{w}\) (1)
Para aproximar el valor de la variable TA, se sustituyen los parámetros conocidos en la ecuación (1) con el objeto de obtener una ecuación en una variable (TA).
\(\displaystyle 15 = \frac{T_A}{10}\cosh\left[\frac{10}{T_A}(50)\right]+5-\frac{T_A}{10}\)
\(\displaystyle 15 = \frac{T_A}{10}\cosh\left(\frac{500}{T_A}\right)+5-\frac{T_A}{10}\)
\(\displaystyle \frac{T_A}{10}\cosh\left(\frac{500}{T_A}\right)+5-\frac{T_A}{10}-15=0\)
\(\displaystyle \frac{T_A}{10}\cosh\left(\frac{500}{T_A}\right)-\frac{T_A}{10}-10=0\)
Aplicando la definición del coseno hiperbólico:
\(\displaystyle \frac{T_A}{10}\left(\frac{e^{\frac{500}{T_A}}+e^{-\frac{500}{T_A}}}{2}\right)-\frac{T_A}{10}-10=0\)
\(\displaystyle \frac{T_A}{20}(e^{\frac{500}{T_A}}+e^{-\frac{500}{T_A}})-\frac{T_A}{10}-10=0\)
\(\displaystyle \frac{1}{20}T_A\,(e^{\frac{500}{T_A}}+e^{-\frac{500}{T_A}})-\frac{1}{10}T_A-10=0\)
Definimos \(\displaystyle f\,(T_A)=\frac{1}{20}T_A\,(e^{\frac{500}{T_A}}+e^{-\frac{500}{T_A}})-\frac{1}{10}T_A-10\).
Búsqueda incremental con d = 100 en el intervalo [ 1000 , 2000 ].
Se determina el valor de la función f (TA) para valores entre 1000 y 2000 con incrementos de 100.
Se muestra un cálculo para TA = 1000 y TA = 1100.
Para TA = 1000:
\(\displaystyle f\,(1000)=\frac{1}{20}(1000)\,(e^{\frac{500}{1000}}+e^{-\frac{500}{1000}})-\frac{1}{10}(1000)-10=2.769527\)
Para TA = 1100:
\(\displaystyle f\,(1100)=\frac{1}{20}(1100)\,(e^{\frac{500}{1100}}+e^{-\frac{500}{1100}})-\frac{1}{10}(1100)-10=1.560644\)
Para el resto de los valores, los resultados se resumen en una tabla.
|
TA |
f (TA) |
|
1000 |
2.762597 |
|
1100 |
1.560644 |
|
1200 |
0.568246 |
|
1300 |
-0.265497 |
|
1400 |
-0.976120 |
|
1500 |
-1.589220 |
|
1600 |
-2.123714 |
|
1700 |
-2.593900 |
|
1800 |
-3.010787 |
|
1900 |
-3.382998 |
|
2000 |
-3.717380 |
El cambio de signo para la función f (TA) ocurre cuando TA se encuentra entre 1200 y 1300. En ese intervalo existe por lo menos una raíz de la función. De esta manera tenemos un intervalo [ 1200 , 1300 ] más pequeño que [ 1000 , 2000 ] para encontrar la raíz aproximada de la función.
En las figuras siguientes se muestran las gráficas de la función f (TA) en el intervalo [ 1000 , 2000 ] y [ 1200 , 1300 ]. Es importante mencionar que en el mecanismo de solución del problema no es necesario ni práctico realizar las gráficas. Las mismas son mostradas aquí estrictamente con fines ilustrativos. De hecho, una vez mostradas y comentadas, no se hará ninguna mención a las mismas. Esto mismo ocurrirá con todas las gráficas ilustrativas utilizadas en la aplicación del método de bisección.
Observamos que existe una raíz de la ecuación en el intervalo [ 1000 , 2000 ].
Un intervalo más pequeño que contiene a la raíz de la ecuación es [ 1200 , 1300 ] tal como lo encontramos en la búsqueda incremental. Obsérvese que en el intervalo [ 1200 , 1300 ], la función f (TA) tiene un comportamiento aproximadamente lineal. A este nivel no aprovecharemos esta particularidad, sin embargo, esto desde el punto de vista de selección y aplicación de un método numérico para encontrar la raíz en el intervalo puede resultar muy conveniente.
a) Aplicación del método de biseeción para encontrar la raíz de f (TA).
Se ejecutarán 6 iteraciones del método. Se ilustran las cuatro primeras, y las restantes se resumen en una tabla.
Primera iteración (i = 1). a1 = 1200, b1 = 1300.
\(\displaystyle T_{A,1}=\frac{a_1+b_1}{2}=\frac{1200+1300}{2}=\frac{2500}{2}=1250\)
\(\displaystyle f\,(T_{A,1})=f\,(1250)=\frac{1}{20}(1250)\,(e^{\frac{500}{1250}}+e^{-\frac{500}{1250}})-\frac{1}{10}(1250)-10=0.134046\)
La tabla siguiente resume los resultados de la primera iteración:
|
i |
ai |
bi |
TA,i |
f (ai) |
f (bi) |
f (TA,i) |
|
1 |
1200 |
1300 |
1250 |
0.568246 |
-0.265497 |
0.134046 |
f (TA,1) tiene el mismo signo que f (a1), a2 = TA,1
Intervalo que contiene la solucion: [ 1250 , 1300 ].
En la figura siguiente se observa el principio del método. El intervalo original [ 1200 , 1300] se ha dividido a la mitad, lo cual conduce a dos intervalos: [ 1200 , 1250 ] y [ 1250 , 1300 ]. Para continuar con el método, se elige el intervalo que contiene la solución.
Primera iteración del método de bisección para \(\displaystyle f\,(T_A)=\frac{1}{20}T_A\,(e^{\frac{500}{T_A}}+e^{-\frac{500}{T_A}})-\frac{1}{10}T_A-10\) en [ 1200 , 1300 ].
Segunda iteración (i = 2). a2 = 1250, b2 = 1300.
\(\displaystyle T_{A,2}=\frac{a_2+b_2}{2}=\frac{1250+1300}{2}=\frac{2550}{2}=1275\)
\(\displaystyle f\,(T_{A,2})=f\,(1275)=\frac{1}{20}(1275)\,(e^{\frac{500}{1275}}+e^{-\frac{500}{1275}})-\frac{1}{10}(1275)-10=-0.069790\)
La tabla siguiente resume los resultados de la segunda iteración:
|
i |
ai |
bi |
TA,i |
f (ai) |
f (bi) |
f (TA,i) |
|
1 |
1200 |
1300 |
1250 |
0.568246 |
-0.265497 |
0.134046 |
|
2 |
1250 |
1300 |
1275 |
0.134046 |
-0.265497 |
-0.069790 |
f (TA,2) tiene el mismo signo que f (b2), b3 = TA,2
Intervalo que contiene la solución: [ 1250 , 1275 ].
Gráficamente:
Segunda iteración del método de bisección para \(\displaystyle f\,(T_A)=\frac{1}{20}T_A\,(e^{\frac{500}{T_A}}+e^{-\frac{500}{T_A}})-\frac{1}{10}T_A-10\) en [ 1200 , 1300 ].
Tercera iteración (i = 3). a3 = 1250, b3 = 1275.
\(\displaystyle T_{A,3}=\frac{a_3+b_3}{2}=\frac{1250+1275}{2}=\frac{2525}{2}=1262.5\)
\(\displaystyle f\,(T_{A,3})=f\,(1262.5)=\frac{1}{20}(1262.5)\,(e^{\frac{500}{1262.5}}+e^{-\frac{500}{1262.5}})-\frac{1}{10}(1262.5)-10=0.031081\)
La tabla siguiente resume los resultados de la tercera iteración:
|
i |
ai |
bi |
TA,i |
f (ai) |
f (bi) |
f (TA,i) |
|
1 |
1200 |
1300 |
1250 |
0.568246 |
-0.265497 |
0.134046 |
|
2 |
1250 |
1300 |
1275 |
0.134046 |
-0.265497 |
-0.069790 |
|
3 |
1250 |
1275 |
1262.5 |
0.134046 |
-0.069790 |
0.031081 |
f (TA,3) tiene el mismo signo que f (a3), a4 = TA,3
Intervalo que contiene la solución: [ 1262.5 , 1275 ].
Gráficamente:
Tercera iteración del método de bisección para \(\displaystyle f\,(T_A)=\frac{1}{20}T_A\,(e^{\frac{500}{T_A}}+e^{-\frac{500}{T_A}})-\frac{1}{10}T_A-10\) en [ 1200 , 1300 ].
Obsérvese que el método va encerrando la raíz en un intervalo cada vez más pequeño.
Los resultados que se obtienen de la aplicación del método se resumen en la siguiente tabla:
|
i |
ai |
bi |
TA,i |
f (ai) |
f (bi) |
f (TA,i) |
|
1 |
1200 |
1300 |
1250 |
0.568246 |
-0.265497 |
0.134046 |
|
2 |
1250 |
1300 |
1275 |
0.134046 |
-0.265497 |
-0.069790 |
|
3 |
1250 |
1275 |
1262.5 |
0.134046 |
-0.069790 |
0.031081 |
|
4 |
1262.5 |
1275 |
1268.75 |
0.031081 |
-0.069790 |
-0.019612 |
|
5 |
1262.5 |
1268.75 |
1265.625 |
0.031081 |
-0.019612 |
0.005669 |
|
6 |
1265.625 |
1268.75 |
1267.1875 |
0.005669 |
-0.019612 |
-0.006988 |
La solución de la ecuación \(\displaystyle \frac{1}{20}T_A\,(e^{\frac{500}{T_A}}+e^{-\frac{500}{T_A}})-\frac{1}{10}T_A-10 = 0\) es TA = 1267.1872, obtenida aplicando el método de bisección en el intervalo [ 1200 , 1300 ] con seis iteraciones.
