Descripción
Estiramos un resorte 5 cm y lo dejamos oscilar libremente resultando que completa una oscilación cada 0.2 s. Calcular:
a) La función que nos permite calcular su posición en función del tiempo.
b) La velocidad y la aceleración a la que estará sometido el extremo libre a los 15 s de iniciado el movimiento.
Solucion.
Amplitud: A = 5 cm = 0.05 m
Periodo: T = 0.2 s
a) Ecuación del movimiento: x (t) = ?
b) v (15 s) = ?, a (15 s) = ?
a) Ecuación del movimiento.
x (t) = A cos (ω t + ϕ) (1)
Si la partícula inicia en el extremo superior de la trayectoria:
x (t) = A cos (ω t) (2)
Frecuencia angular.
\(\displaystyle \omega = \frac{2\,\pi}{T}\) (3)
Al sustituir valores en la ecuación (3):
\(\displaystyle \omega = \frac{2\,\pi}{0.2\,\text{s}}\)
ω = 10 π rad/s
Ecuación del movimiento.
Al sustituir los parámetros conocidos en la ecuación (2):
x (t) = 0.05 cos (10 π t), x = [m], t = [s] (4)
b) Velocidad y aceleración de la partícula.
Al cabo de 15 s, la partícula habrá realizado 15/0.2 = 75 oscilaciones y se encuentra en el extremo superior de la trayectoria. En dicho extremo, la rapidez es nula y la aceleración es máxima negativa.
Para t = 15 s:
v (15 s) = 0 m/s
a (15 s) = – ω2A
a (15 s) = – (10 π rad/s)2 (0.05 m)
a (15 s) = – 49.35 m/s2
Otra forma de determinar la rapidez y la aceleración a los 15 s es a partir de la ecuación de movimiento.
x (t) = 0.05 cos (10 π t), x = [m], t = [s]
Rapidez.
\(\displaystyle v\,(t) = \frac{d\,x\,(t)}{d\,t}\)
Al derivar la ecuación de movimiento:
v (t) = – 0.5 π sen (10 π t), t = [s], v (t) = [m/s]
Aceleración.
\(\displaystyle a\,(t) = \frac{d\,v\,(t)}{d\,t}\)
Al derivar la ecuación de la rapidez:
a (t) = – 5 π2 cos (10 π t), t = [s], a (t) = [m/s2]
Al sustituir t = 15 s en las ecuaciones de rapidez y aceleración:
v (15 s) = – 0.5 π sen [10 π (15)]
v (15 s) = – 0.5 π sen (150 π)
v (15 s) = 0 m/s
a (15 s) = – 5 π2 cos [10 π (15)]
a (15 s) = – 5 π2 cos (150 π)
a (15 s) = – 5 π2
a (15 s) = – 49.35 m/s2
