Descripción
Una masa m = 5 kg está suspendida de un resorte que se estiró 2 cm bajo la influencia del peso de esta masa. La masa está conectada a un amortiguador con una constante de amortiguamiento β = 200 N.s/m. Ahora se tira de la masa hacia abajo 1 cm y luego se suelta con una velocidad inicial cero. Determine a qué distancia de su posición de equilibrio estático estará la masa en el tiempo t = 0.05 s.
Referencias:
Problema 3-198 del Çengel – Palm. Página 172.
Segundo Examen Parcial. Prof. Willians Medina. Universidad de Oriente. Nucleo de Anzoátegui. Venezuela. Periodo III-2025.
Solución.
Masa: m = 5 kg
Alargamiento del resorte: Δ x = 2 cm = 0.02 m
Constante de amortiguamiento: β = 200 N.s/m
Posición inicial: x0 = – 1 cm = – 0.01 m
Velocidad inicial: v0 = 0
Posición: x (t) = ?
Tiempo: t = 0.05 s
Constante del resorte.
m g = k Δ x
\(\displaystyle k = \frac{m\,g}{\Delta\,x}\)
Al sustituir valores:
\(\displaystyle k = \frac{5\,\text{kg}\times 9.81\,\text{m/s}^2}{0.02\,\text{m}}\)
\(\displaystyle k = \frac{49.05\,\text{N}}{0.02\,\text{m}}\)
k = 2452.5 N/m
Frecuencia natural del sistema.
\(\displaystyle \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\)
\(\displaystyle \omega_0 = \sqrt{\frac{2452.5\,\text{N/m}}{5\,\text{kg}}}\)
\(\displaystyle \omega_0 = \sqrt{490.5\,\text{2}^{-2}}\)
ω0 = 22.15 rad/s
Parámetro de amortiguamiento.
\(\displaystyle \lambda = \frac{\beta}{2\,m}\)
\(\displaystyle \lambda = \frac{200\,\text{N.s/m}}{2\,(5\,\text{kg})}\)
\(\displaystyle \lambda = \frac{200\,\text{N.s/m}}{10\,\text{kg}}\)
λ = 20 s–1
Tipo de oscilación.
λ2 – ω02 = (20)2 – (22.15)2
λ2 – ω02 = 400 – 490.6225
λ2 – ω02 = – 90.6225
λ2 – ω02 < 0 (Movimiento subamortiguado).
Frecuencia angular de oscilación.
\(\displaystyle \omega = \sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}\)
\(\displaystyle \omega = \sqrt{90.6225}\)
ω = 9.52 rad/s
Ecuación del movimiento.
x (t) = A e– λ t cos (ω t + ϕ)
Amplitud.
\(\displaystyle A = \sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0+x_0\,\lambda}{\omega}\right)^2}\)
Para v0 = 0:
\(\displaystyle A = \vert x_0\vert\sqrt{1+\left(\frac{\lambda}{\omega}\right)^2}\)
Ángulo de fase.
v0 + x0 λ = 0 + (–0.01) × 20
v0 + x0 λ = 0 – 2
v0 + x0 λ = – 2
Puesto que x0 < 0 y v0 < 0:
\(\displaystyle \phi = \pi+\tan^{-1}\left(-\frac{v_0+x_0\,\lambda}{x_0\,\omega}\right)\)
Para v0 = 0:
\(\displaystyle \phi = \pi+\tan^{-1}\left(-\frac{\lambda}{\omega}\right)\)
Amplitud.
\(\displaystyle A = \vert -0.01\vert\sqrt{1+\left(\frac{20}{9.52}\right)^2}\)
\(\displaystyle A = 0.01\sqrt{1+(2.1008)^2}\)
\(\displaystyle A = 0.01\sqrt{1+4.4135}\)
\(\displaystyle A = 0.01\sqrt{5.4135}\)
A = 0.02326 m
Ángulo de fase.
\(\displaystyle \phi = \pi+\tan^{-1}\left(-\frac{20}{9.52}\right)\)
ϕ = π + tan–1 (– 2.1008)
ϕ = π – 1.1265
ϕ = 2.0151 rad
Al sustituir valores en la ecuación de movimiento:
x (t) = 0.02326 e – 20 t cos (9.52 t + 2.0151), x = [m], t = [s]
En la figura siguiente se muestra la gráfica del movimiento.
Para t = 0.05 s:
x (0.05) = 0.02326 e – 20 (0.05) cos [9.52 (0.05) + 2.0151]
x (0.05) = 0.02326 e – 1 cos (0.476 + 2.0151)
x (0.05) = 0.02326 e – 1 cos (2.4911)
x (0.05) = – 0.0068 m
Forma alterna de la ecuación de movimiento.
\( \displaystyle x\,(t)=e^{-\lambda\,t}\left[x_0\cos(\omega\,t)+\frac{v_0+x_0\lambda}{\omega}\sin(\omega\,t)\right]\)
Para v0 = 0:
\( \displaystyle x\,(t)=x_0\,e^{-\lambda\,t}\left[\cos(\omega\,t)+\frac{\lambda}{\omega}\sin(\omega\,t)\right]\)
Al sustituir valores:
\( \displaystyle x\,(t)=-0.01\,e^{-20\,t}\left[\cos(9.52\,t)+\left(\frac{20}{9.52}\right)\sin(9.52\,t)\right]\)
x (t) = – 0.01 e – 20 t [cos (9.52 t) + 2.1008 sen (9.52 t)], x = [m], t = [s]
