Descripción
Una onda sinusoidal en una cuerda se describe mediante la función de onda
y ( x , t ) = (0.150 m) sen (0.800 x – 50.0 t)
donde x esta en metros y t en segundos. La masa por cada longitud de la cuerda es 12.0 g/m. a) Encuentre la máxima aceleración transversal de un elemento en esta cuerda. b) Determine la máxima fuerza transversal sobre un segmento de cuerda de 1.00 cm. Establezca como se compara esta fuerza con la tension en la cuerda.
Referencias:
Problema 46. Capítulo 16 del Serway – Jewett. Séptima Edición. Página 471.
Tercer Examen Parcial. Prof. Willians Medina. Universidad de Oriente. Núcleo de Anzoátegui. Venezuela. Periodo III-2025.
Solución.
De la ecuación de la onda y ( x , t ) = (0.150 m) sen (0.800 x – 50.0 t), se tiene:
Amplitud: A = 0.150 m
Número de onda angular: κ = 0.800 rad/m
Frecuencia angular: ω = 50.0 rad/s
Densidad de masa lineal: μ = 12.0 g/m = 0.012 kg/m
a) Máxima aceleración transversal.
ay,max = ω2A (1)
Al sustituir valores en la ecuación (1):
ay,max = (50.0 rad/s)2 × 0.150 m
ay,max =375 m/s2
b) Fuerza transversal máxima.
Longitud: L = 1.0 cm = 0.01 m
F = m a (2)
Masa de la porción de cuerda.
\(\displaystyle \mu = \frac{m}{L}\)
m = μ L (3)
Al sustituir valores en la ecuación (3):
m = 0.012 kg/m × 0.01 m
m = 0.00012 kg
Fuerza.
Al sustituir valores en la ecuación (2):
F = 0.00012 kg × 375 m/s2
F = 0.045 N
Tensión en la cuerda.
Velocidad de la onda.
\(\displaystyle v = \frac{\omega}{\kappa}\) (4)
\(\displaystyle v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}\) (5)
Al igualar las ecuaciones (4) y (5):
\(\displaystyle \frac{\omega}{\kappa} = \sqrt{\frac{T}{\mu}}\)
\(\displaystyle \left(\frac{\omega}{\kappa}\right)^2 = \frac{T}{\mu}\)
Al despejar la tensión en la cuerda:
\(\displaystyle T = \mu\,\left(\frac{\omega}{\kappa}\right)^2\) (6)
Al sustituir valores en la ecuación (6):
\(\displaystyle T = 0.012\,\text{kg/m}\,\left(\frac{50.0\,\text{rad/s}}{0.800\,\text{rad/m}}\right)^2\)
T = 0.012 kg/m (62.5 m/s)2
T = 0.012 kg/m (3906.25 m2/s2)
T = 46.875 N
La fuerza (0.045 N) es mucho menor que la tensión en la cuerda (46.875 N).
