Descripción
Disco con carga uniforme. En la figura se muestra un disco circular de radio R que porta una carga positiva q distribuida uniformemente en su superficie, de modo que la densidad de carga superficial es \( \displaystyle \sigma = \frac{q}{\pi\,R^2} \). Una carga puntual positiva q0 se halla en el eje del disco (el eje positivo x), a una distancia x del centro del disco. Calcular la fuerza que ejerce el disco sobre la carga puntual.
Referencia:
Adaptado de la Sección 25-5 del Resnick – Halliday. Quinta Edición. Página 578.
Solución.
Se considera un elemento diferencial de carga (d q) sobre el disco. En este caso es un anillo diferencial. La influencia que ejerce dicho elemento sobre la carga colocada en el punto P es de repulsión, con un diferencial de fuerza eléctrica d F (orientado con un ángulo θ respecto a la horizontal). d F se descompone en sus componentes rectangulares d Fx y d Fy.
Componentes rectangulares de la fuerza eléctrica.
Componente horizontal.
\( \displaystyle d\,F_x = d\,F\,\cos\theta \) (1)
Componente vertical.
\( \displaystyle d\,F_y = d\,F\,\sin\theta \)
La fuerza que ejerce el diferencial de carga indicado y la fuerza del diferencial de carga correspondiente en el lado inferior son iguales y simétricos con respecto al eje x. Las componentes verticales de las fuerzas debidas a dichos diferenciales de carga se anulan entre sí, mientras que las componentes horizontales de las fuerzas son aditivas. Por simetría Fy = 0
Al integrar ambos miembros de la ecuación (1):
\( \displaystyle \int d\,F_x = \int d\,F\cos\theta\)
\( \displaystyle F_x = \int d\,F\cos\theta\) (2)
El diferencial de la fuerza eléctrica viene dado por:
\( \displaystyle d\,F = k\frac{q_0d\,q}{d^2} \) (3)
Al sustituir la ecuación (3) en la ecuación (2):
\( \displaystyle F_x = \int k\frac{q_0d\,q}{d^2}\cos\theta\)
\( \displaystyle F_x = k\,q_0\int \frac{d\,q}{d^2}\cos\theta\) (4)
La ecuación (4) puede integrarse en función del radio del elemento diferencial (r) o en función del ángulo (θ).
Primer mecanismo de solución. Cálculo de la integral (4) en función del radio del anillo diferencial.
Para determinar el diferencial de carga, recurrimos a la definición de densidad superficial de carga:
\( \displaystyle \sigma = \frac{q}{A}\)
Al despejar la carga:
q = σ A
Al diferenciar con respecto al área A:
d q = σ d A (5)
Área de un disco:
A = π r2
Al diferenciar con respecto al radio r:
d A = 2 π r d r (6)
Al sustituir la ecuación (6) en la ecuación (5)
d q = σ (2 π r d r)
d q = 2 π σ r d r (7)
Distancia entre el elemento diferencial de carga (d q) y la carga ubicada en el punto P.
d2 = x2 + r2 (8)
\( \displaystyle d = \sqrt{x^2+r^2} \) (9)
Ángulo que forma el diferencial de fuerza eléctrica (d F) con la horizontal.
\( \displaystyle \cos\theta = \frac{x}{d} \) (10)
Al sustituir la ecuación (9) en la ecuación (10):
\( \displaystyle \cos\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+r^2}} \) (11)
Al sustituir las ecuaciones (7), (8) y (11) en la ecuación (4):
\( \displaystyle F_x = k\,q_0\int \frac{2\,\pi\,\sigma\,r\,d\,r}{x^2+r^2}\frac{x}{\sqrt{x^2+r^2}}\)
\( \displaystyle F_x = 2\,\pi\,k\,q_0\,\sigma\,x\,\int \frac{r\,d\,r}{(x^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}\)
Límites de integración.
Para hacer el barrido del disco, el radio del elemento diferencial debe variar desde r = 0 (El centro del disco) hasta r = R (El radio del disco).
\( \displaystyle F_x = 2\,\pi\,k\,q_0\,\sigma\,x\,\int_0^R \frac{r\,d\,r}{(x^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}\) (12)
La integral se resuelve aplicando cambio de variable:
u2 = x2 + r2
2 u d u = 2 r d r → r d r = u d u
Límites de integración:
Para r = 0: u = x
Para r = R: \( \displaystyle u = \sqrt{x^2+R^2} \)
Al sustituir en la integral:
\( \displaystyle F_x = 2\,\pi\,k\,q_0\,\sigma\,x \int_x^{\sqrt{x^2+R^2}}\frac{u\,d\,u}{(u^2)^{\frac{3}{2}}}\)
\( \displaystyle F_x = 2\,\pi\,k\,q_0\,\sigma\,x \int_x^{\sqrt{x^2+R^2}} \frac{u\,d\,u}{u^3}\)
\( \displaystyle F_x = 2\,\pi\,k\,q_0\,\sigma\,x \int_x^{\sqrt{x^2+R^2}} \frac{d\,u}{u^2}\)
La integración conduce a:
\( \displaystyle F_x = 2\,\pi\,k\,q_0\,\sigma\,x \left(-\frac{1}{u}\bigg\vert_0^{\sqrt{x^2+R^2}}\right)\)
Al aplicar el teorema fundamental del cálculo:
\( \displaystyle F_x = 2\,\pi\,k\,q_0\,\sigma\,x \left(-\frac{1}{\sqrt{x^2+R^2}}+\frac{1}{x}\right)\)
\( \displaystyle F_x = 2\,\pi\,k\,q_0\,\sigma\,x \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x^2+R^2}}\right)\)
\( \displaystyle F_x = 2\,\pi\,k\,q_0\,\sigma \left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right)\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = 2\,\pi\,q_0\,k\,\sigma \left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right)\mathbf{i}\) Unidades de fuerza eléctrica. (13)
Fuerza eléctrica en función de la carga total del disco.
\( \displaystyle \sigma = \frac{q}{A}\)
Área del disco: A = π R2
\( \displaystyle \sigma = \frac{q}{\pi\,R^2}\) (14)
Al sustituir la ecuación (14) en la ecuación (13):
\( \displaystyle \mathbf{F} = 2\,\pi\,k\,q_0 \left(\frac{q}{\pi\,R^2}\right) \left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right)\mathbf{i}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{2\,k\,q_0Q}{R^2} \left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right)\mathbf{i}\) Unidades de fuerza eléctrica. (15)
Segundo mecanismo de solución. Cálculo de la integral (4) en función del ángulo θ.
\( \displaystyle F_x = k\,q_0\int \frac{d\,q}{d^2}\cos\theta\) (4)
Elemento diferencial de carga.
d q = 2 π σ r d r (6)
De la figura:
\( \displaystyle \tan\theta=\frac{r}{x}\)
r = x tan θ (16)
d r = x sec2θ d θ (17)
Al sustituir las ecuaciones (16) y (17) en la ecuación (6):
d q = 2 π σ (x tan θ) (x sec2θ d θ)
d q = 2 π σ x2 tan θ sec2θ d θ (18)
Distancia entre el elemento diferencial de carga (d q) y la carga ubicada en el punto P.
De la figura:
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{x}{d}\)
\( \displaystyle d=\frac{x}{\cos\theta}\)
\( \displaystyle d^2=\frac{x^2}{\cos^2\theta}\)
d2 = x2sec2θ (19)
Al sustituir las ecuaciones (18) y (19) en la ecuación (4):
\( \displaystyle F_x = k\,q_0\int_0^{\theta_0} \frac{2\,\pi\,\sigma\,x^2\tan\theta\sec^2\theta d\,\theta}{x^2\sec^2\theta}\cos\theta\)
\( \displaystyle F_x = 2\,\pi\,k\,q_0\,\sigma \int_0^{\theta_0} \tan\,\theta\,\cos\theta\,d\,\theta\)
\( \displaystyle F_x = 2\,\pi\,k\,q_0\,\sigma\int_0^{\theta_0} \sin\theta\,d\,\theta\)
La integración conduce a:
\( \displaystyle F_x = -2\,\pi\,k\,q_0\,\sigma\,\cos\theta\,\bigg\vert_0^{\theta_0}\)
Al aplicar el teorema fundamental del cálculo:
\( \displaystyle F_x = -2\,\pi\,k\,q_0\,\sigma\,\cos\theta_0 + 2\,\pi\,k\,\sigma\,\cos0\)
\( \displaystyle F_x = -2\,\pi\,k\,q_0\,\sigma\,\cos\theta_0 + 2\,\pi\,k\,\sigma\)
\( \displaystyle F_x = 2\,\pi\,k\,q_0\,\sigma (1-\cos\theta_0)\) (20)
De la figura:
\( \displaystyle \cos\theta_0 = \frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\) (21)
Al sustituir la ecuación (21) en la ecuación (20):
\( \displaystyle F_x = 2\,\pi\,k\,q_0\,\sigma \left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right)\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = 2\,\pi\,k\,q_0\,\sigma\,\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right)\mathbf{i}\) Unidades de fuerza eléctrica. (13)
Puede demostrarse que la obtención de la fuerza eléctrica usando el segundo mecanismo de solución se corresponde a la solución de la integral del primer mecanismo mediante una sustitución trigonométrica. Es por ello que se recomienda obtener la expresión (4) (en función de r), y luego evaluar la resolución de la integral mediante un cambio de variables (si aplica), una sustitución trigonométrica o mediante el uso de una tabla de integrales. Obviamente la forma más conveniente de las tres indicadas es mediante una tabla de integrales, sin embargo, esta decisión está sometida a la consideración del Profesor, quien debe indicarlo oportunamente.
Aplicaciones de la ecuación de la fuerza eléctrica para un disco.
Lámina infinita (R → ∞).
\( \displaystyle \mathbf{F} = 2\,\pi\,k\,q_0\,\sigma \left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right)\mathbf{i}\) (13)
Si R → ∞, entonces \( \displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\approx 0\).
F = 2 π k q0 σ i
\( \displaystyle k = \frac{1}{4\,\pi\,\epsilon_0}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = 2\,\pi \left(\frac{1}{4\,\pi\,\epsilon_0}\right)q_0\,\sigma\,\mathbf{i}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{q_0\,\sigma}{2\,\epsilon_0} \mathbf{i}\) Unidades de fuerza eléctrica. (22)
Fuerza eléctrica en un punto “alejado” del centro del disco (x >> R).
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{2\,k\,q_0\,Q}{R^2} \left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right)\mathbf{i}\) (15)
Se reescribe la expresión de la fuerza eléctrica y se introduce una aproximación.
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{2\,k\,q_0\,Q}{R^2} \left(1-\frac{1}{\frac{\sqrt{x^2+R^2}}{x}}\right)\mathbf{i}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{2\,k\,q_0\,Q}{R^2} \left(1-\frac{1}{\frac{\sqrt{x^2+R^2}}{\sqrt{x^2}}}\right)\mathbf{i}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{2\,k\,q_0\,Q}{R^2} \left(1-\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2+R^2}{x^2}}}\right)\mathbf{i}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{2\,k\,q_0\,Q}{R^2} \left(1-\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2}+\frac{R^2}{x^2}}}\right)\mathbf{i}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{2\,k\,q_0\,Q}{R^2} \left[1-\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{R}{x}\right)^2}}\right]\mathbf{i}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{2\,k\,q_0\,Q}{R^2}\left[1-
\frac{1}{\left[1+\left(\frac{R}{x}\right)^2\right]^\frac{1}{2}}\right] \mathbf{i}\)
Aplicando la aproximación \( \displaystyle \frac{1}{(1+\delta)^k}=1-k\,\delta\) con \( \displaystyle \delta=\left(\frac{R}{x}\right)^2\) y \( \displaystyle k=\frac{1}{2}\):
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{2\,k\,q_0\,Q}{R^2}\left[1-\left[1-\frac{1}{2}\left(\frac{R}{x}\right)^2\right]\right] \mathbf{i}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{2\,k\,q_0\,Q}{R^2}\left[1-1+\frac{1}{2}\left(\frac{R}{x}\right)^2\right] \mathbf{i}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{2\,k\,q_0\,Q}{R^2}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{R}{x}\right)^2\right] \mathbf{i}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{2\,k\,q_0\,Q}{R^2}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{R^2}{x^2}\right)\right] \mathbf{i}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{2\,k\,q_0\,Q}{R^2}\left(\frac{R^2}{2\,x^2}\right) \mathbf{i}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{k\,q_0\,Q}{x^2}\mathbf{i}\)
\( \displaystyle \Vert \mathbf{F} \Vert = \frac{k\,q_0\,Q}{x^2}\)
La fuerza eléctrica obtenida es la equivalente a la fuerza eléctrica debida a una carga puntual cuyo valor es Q a una distancia x, esto es, el disco se comporta como una carga puntual.
Forma alterna de reducir la ecuación \( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{2\,k\,q_0\,Q}{R^2} \left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right)\mathbf{i}\) a la correspondiente a una carga puntual para x >> R.
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{2\,k\,q_0\,Q}{R^2} \left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right)\mathbf{i}\) (15)
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{2\,k\,q_0\,Q}{R^2} \left(\frac{\sqrt{x^2+R^2}-x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right)\mathbf{i}\)
Se aplica la conjugada del numerador.
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{2\,k\,q_0\,Q}{R^2} \cdot\frac{\sqrt{x^2+R^2}-x}{\sqrt{x^2+R^2}}\cdot\frac{\sqrt{x^2+R^2}+x}{\sqrt{x^2+R^2}+x}\,\mathbf{i}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{2\,k\,q_0\,Q}{R^2} \left[\frac{(\sqrt{x^2+R^2}-x)\,(\sqrt{x^2+R^2}+x)}{\sqrt{x^2+R^2}\,(\sqrt{x^2+R^2}+x)}\right]\mathbf{i}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{2\,k\,q_0\,Q}{R^2} \left[\frac{x^2+R^2-x^2}{\sqrt{x^2+R^2}\,(\sqrt{x^2+R^2}+x)}\right]\mathbf{i}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{2\,k\,q_0\,Q}{R^2} \left[\frac{R^2}{\sqrt{x^2+R^2}\,(\sqrt{x^2+R^2}+x)}\right]\mathbf{i}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = 2\,k\,q_0\,Q \left[\frac{1}{\sqrt{x^2+R^2}\,(\sqrt{x^2+R^2}+x)}\right]\mathbf{i}\)
Si x >> R, entonces x2 + R2 ≈ x2.
\( \displaystyle \mathbf{F} = 2\,k\,q_0\,Q \left[\frac{1}{\sqrt{x^2}\,(\sqrt{x^2}+x)}\right]\mathbf{i}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = 2\,k\,q_0\,Q \left[\frac{1}{x\,(x+x)}\right]\mathbf{i}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = 2\,k\,q_0\,Q \left[\frac{1}{x\,(2\,x)}\right]\mathbf{i}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = 2\,k\,q_0\,Q \left(\frac{1}{2\,x^2}\right)\mathbf{i}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{k\,q_0\,Q}{x^2}\mathbf{i}\) Unidades de fuerza eléctrica.
