Descripción
Determine si las rectas
L1: x = – 6 – t, y = 20 + 3 t, z = 1 + 2 t
L2: x = 5 + 2 s, y = – 9 – 4 s, z = 1 + 7 s
se intersectan.
Referencia:
Ejemplo 9. Sección 11.5 del Zill. Cuarta Edición. Página 632.
Solución.
Primer mecanismo de solución.
Determinación del punto de intersección.
Recta 1: Recta 2:
x = – 6 – t x = 5 + 2 s
y = 20 + 3 t y = – 9 – 4 s
z = 1 + 2 t z = 1 + 7 s
Al igualar las coordenadas x, y y z de ambas rectas:
– 6 – t = 5 + 2 s (1)
20 + 3 t = – 9 – 4 s (2)
1 + 2 t = 1 + 7 s (3)
Se trata de un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas.
Al tomar las ecuaciones (1) y (2):
– t – 2 s = 11
3 t + 4 s = – 29
La solución del sistema anterior es:
t = – 7
s = – 2
Se verifica la identidad de la ecuación (3):
1 + 2 (–7) = 1 + 7 (–2)
– 13 = – 13
Puesto que se verifica la igualdad en la tercera ecuación, las tres ecuaciones se satisfacen simultáneamente y por ello se concluye que las dos rectas se intersectan.
Para determinar el punto de intersección se sustituye t = – 7 en las ecuaciones paramétricas de la recta 1.
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x = – 6 – (– 7) x = – 6 + 7 x = 1 |
y = 20 + 3 (– 7) y = 20 – 21 y = – 1 |
z = 1 + 2 (– 7) z = 1 – 14 z = – 13 |
Punto de intersección de las dos rectas: S ( 1 , – 1 , –13 ).
Segundo mecanismo de solución.
Sean las rectas L1 y L2 en R3 con vectores directores A1 y A2 respectivamente. Sea P un punto de la recta L1, Q un punto de la recta L2 y PQ un vector definido por los puntos P y Q. Si A1×A2 ≠ 0 y PQ.A1×A2 = 0, las rectas se intersectan en un punto.
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Recta 1: x = – 6 – t y = 20 + 3 t z = 1 + 2 t Punto: P ( – 6 , 20 , 1 ) Vector director: A1 = – i + 3 j + 2 k |
Recta 2: x = 5 + 2 s y = – 9 – 4 s z = 1 + 7 s Punto: Q ( 5 , – 9 , 1 ) Vector director: A2 = 2 i – 4 j + 7 k |
Producto vectorial de los vectores A1 y A2.
\(\displaystyle \mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\-1&3&2\\2&-4&7\end{vmatrix}\)
A1×A2 = [(3) (7) – (– 4) (2)] i – [(– 1) (7) – (2) (2)] j + [(– 1) (– 4) – (2) (3)] k
A1×A2 = (21 + 8) i – (– 7 – 4) j + (4 – 6) k
A1×A2 = 29 i + 11 j – 2 k
Puesto que A1×A2 ≠ 0, entonces los vectores A1 y A2 no son paralelos, luego las rectas 1 y 2 no son paralelas.
Vector PQ:
PQ = [5 – (–6)] i + (–9 – 20) j + (1 – 1) k
PQ = 11 i – 29 j + 0 k
PQ.A1×A2 = (11 i – 29 j + 0 k) – (29 i + 11 j – 2 k)
PQ.A1×A2 = (11) (29) + (– 29) (11) + (0) (– 2 )
PQ.A1×A2 = 319 – 319 + 0
PQ.A1×A2 = 0
Puesto que PQ.A1×A2 = 0, entonces las rectas 1 y 2 se intersectan.
Una vez que se determina que las rectas se intersectan, se procede a determinar el punto de intersección entre las mismas.
Determinar el valor de los parámetros t ó s en el punto de intersección.
| \(\displaystyle t=\frac{(\mathbf{PQ}\times\mathbf{A}_2)\cdot(\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2)}{\|\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2\|^2}\) | \(\displaystyle s=\frac{(\mathbf{PQ}\times\mathbf{A}_1)\cdot(\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2)}{\|\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2\|^2}\) |
Las operaciones requeridas (para el cálculo de t) son:
\(\displaystyle \mathbf{PQ}\times \mathbf{A}_2=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\11&-29&0\\2&-4&7\end{vmatrix}\)
PQ×A2 = [(– 29) (7) – (– 4) (0)] i – [(11) (7) – (2) (0)] j + [(11) (– 4) – (2) (– 29)] k
PQ×A2 = (– 203 – 0) i – (77 – 0) j + (– 44 + 48) k
PQ×A2 = – 203 i – 77 j + 14 k
(PQ×A2) . (A1×A2) = (– 203 i – 77 j + 14 k) . (29 i + 11 j – 2 k)
(PQ×A2) . (A1×A2) = (– 203) (29) + (– 77) (11) + (14) (– 2)
(PQ×A2) . (A1×A2) = – 5887 – 847 – 28
(PQ×A2) . (A1×A2) = – 6672
|| A1×A2 ||2 = (29)2 + (11)2 + (– 2)2
|| A1×A2 ||2 = 841 + 121 + 4
|| A1×A2 ||2 = 966
Cálculo de t.
\(\displaystyle t=\frac{-6672}{966}\)
t = – 7
