Descripción
Determine si las rectas se cortan y si es así, halle el punto de intersección y el ángulo entre ellas.
L1: x = 4 t + 2, y = 3, z = – t + 1
L2: x = 2 s + 2, y = 2 s + 3, z = s + 1
Referencias:
Examen Parcial. Prof. Willians Medina. Universidad de Oriente. Núcleo de Monagas. Marzo 2018.
Guía de Ejercicios Prof. Thais Marín. Universidad de Oriente. Núcleo de Anzoátegui. Periodo I-2025.
Solución.
Primer mecanismo de solución.
Determinación del punto de intersección.
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Recta 1: x = 4 t + 2 y = 3 z = – t + 1 Punto: P ( 2 , 3 , 1 ) Vector director: A1 = 4 i + 0 j – k |
Recta 2: x = 2 s + 2 y = 2 s + 3 z = s + 1 Punto: Q ( 2 , 3 , 1 ) Vector director: A2 = 2 i + 2 j + k |
Al igualar las coordenadas x, y y z de ambas rectas:
4 t + 2 = 2 s + 2 (1)
3 = 2 s + 3 (2)
– t + 1 = s + 1 (3)
Se trata de un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas.
Al tomar las ecuaciones (1) y (2):
4 t – 2 s = 0
s = 0
La solución del sistema anterior es:
t = 0
s = 0
Se verifica la identidad de la ecuación (3):
–0 + 1 = 0 + 1
1 = 1
Puesto que se verifica la igualdad en la tercera ecuación, las tres ecuaciones se satisfacen simultáneamente y por ello se concluye que las dos rectas se intersectan.
Para determinar el punto de intersección se sustituye t = 0 en las ecuaciones paramétricas de la recta 1 ó s = 0 en las ecuaciones paramétricas de la recta 2.
Recta 1.
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x = 4 (0) + 2 x = 0 + 2 x = 2 |
y = 3 |
z = – (0) + 1 z = 1 |
Punto de intersección de las dos rectas: S ( 2 , 3 , 1 ).
Ángulo entre las rectas:
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{\mathbf{A}_1\cdot\mathbf{A}_2}{\|\mathbf{A}_1\|\,\|\mathbf{A}_2\|}\)
Siendo los vectores directores de las rectas A1 = 4 i + 0 j – k y A2 = 2 i + 2 j + k se tiene:
Producto escalar de los vectores A1 y A2.
A1.A2 = (4 i + 0 j – k) . (2 i + 2 j + k)
A1.A2 = (4) (2) + (0) (2) + (– 1) (1)
A1.A2 = 8 + 0 – 1
A1.A2 = 7
Módulo del vector A1.
\( \displaystyle \|\mathbf{A}_1\|=\sqrt{(4)^2+(0)^2+(-1)^2}\)
\( \displaystyle \|\mathbf{A}_1\|=\sqrt{16+0+1}\)
\( \displaystyle \|\mathbf{A}_1\|=\sqrt{17}\)
Módulo del vector A2.
\( \displaystyle \|\mathbf{A}_2\|=\sqrt{(2)^2+(2)^2+(1)^2}\)
\( \displaystyle \|\mathbf{A}_2\|=\sqrt{4+4+1}\)
\( \displaystyle \|\mathbf{A}_2\|=\sqrt{9}\)
\( \displaystyle \|\mathbf{A}_2\|=3\)
Ángulo entre las rectas.
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{7}{\sqrt{17}\times3}\)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{7}{3\,\sqrt{17}}\)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{7}{3\,\sqrt{17}}\times\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}\)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{7\,\sqrt{17}}{3\,(17)}\)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{7\,\sqrt{17}}{51}\)
\( \displaystyle \theta=\cos^{-1}\left(\frac{7\,\sqrt{17}}{51}\right)\)
Segundo mecanismo de solución.
Sean las rectas L1 y L2 en ℝ3 con vectores directores A1 y A2 respectivamente. Sea P un punto de la recta L1, Q un punto de la recta L2 y PQ un vector definido por los puntos P y Q. Si A1×A2 ≠ 0 y PQ.A1×A2 = 0, las rectas se intersectan en un punto.
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Recta 1: x = 4 t + 2 y = 3 z = – t + 1 Punto: P ( 2 , 3 , 1 ) Vector director: A1 = 4 i + 0 j – k |
Recta 2: x = 2 s + 2 y = 2 s + 3 z = s + 1 Punto: Q ( 2 , 3 , 1 ) Vector director: A2 = 2 i + 2 j + k |
Producto vectorial de los vectores A1 y A2.
\(\displaystyle \mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\4&0&-1\\2&2&1\end{vmatrix}\)
A1×A2 = [(0) (1) – (2) (– 1)] i – [(4) (1) – (2) (– 1)] j + [(4) (2) – (2) (0)] k
A1×A2 = (0 + 2) i – (4 + 2) j + (8 – 0) k
A1×A2 = 2 i – 6 j + 8 k
Puesto que A1×A2 ≠ 0, entonces los vectores A1 y A2 no son paralelos, luego las rectas 1 y 2 no son paralelas.
Vector PQ:
PQ = (2 – 2) i + (3 – 3) j + (1 – 1) k
PQ = 0 i + 0 j + 0 k
PQ.A1×A2 = (0 i + 0 j + 0 k) . (2 i – 6 j + 8 k)
PQ.A1×A2 = (0) (2) + (0) (– 6) + (0) (8)
PQ.A1×A2 = 0 + 0 + 0
PQ.A1×A2 = 0
Puesto que A1×A2 ≠ 0 y PQ.A1×A2 = 0, entonces las rectas 1 y 2 se intersectan.
Una vez que se determina que las rectas se intersectan, se procede a determinar el punto de intersección entre las mismas.
Determinar el valor de los parámetros t ó s en el punto de intersección.
| \(\displaystyle t=\frac{(\mathbf{PQ}\times\mathbf{A}_2)\cdot(\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2)}{\|\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2\|^2}\) | \(\displaystyle s=\frac{(\mathbf{PQ}\times\mathbf{A}_1)\cdot(\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2)}{\|\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2\|^2}\) |
Puesto que en este caso PQ = 0 i + 0 j + 0 k, se tiene:
t = 0
s = 0
