Descripción
Demostrar que las dos rectas L1: x = 4 + 2 t, y = 3 – 2 t, z = –7 – 4 t
L2: x = s, y = 3 + 3 s, z = 1 – 2 s
Se intersectan, y obtener su ángulo de intersección.
Referencia:
Ejemplo 2. Sección 14.3 del Larson. Segunda Edición. Página 643.
Solución.
Primer mecanismo de solución.
Determinación del punto de intersección.
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Recta 1: x = 4 + 2 t y = 3 – 2 t z = – 7 – 4 t Punto: P ( 4 , 3 , – 7 ) Vector director: A1 = 2 i – 2 j – 4 k |
Recta 2: x = s y = 3 + 3 s z = 1 – 2 s Punto: Q ( 0 , 3 , 1 ) Vector director: A2 = i + 3 j – 2 k |
Al igualar las coordenadas x, y y z de ambas rectas:
4 + 2 t = s (1)
3 – 2 t = 3 + 3 s (2)
–7 – 4 t = 1 – 2 s (3)
Se trata de un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas.
Al tomar las ecuaciones (1) y (2):
2 t – s = – 4
–2 t – 3 s = 0
La solución del sistema anterior es:
\(t=-\frac{3}{2}\)
s = 1
Se verifica la identidad de la ecuación (3):
\(-7-4\,(-\frac{3}{2}) = 1 – 2 (1)\)
–7 + 6 = 1 – 2
– 1 = – 1
Puesto que se verifica la igualdad en la tercera ecuación, las tres ecuaciones se satisfacen simultáneamente y por ello se concluye que las dos rectas se intersectan.
Para determinar el punto de intersección se sustituye \(t=-\frac{3}{2}\) en las ecuaciones paramétricas de la recta 1 ó s = 1 en las ecuaciones paramétricas de la recta 2.
Recta 1.
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\(x=4+2\,(-\frac{3}{2})\) x = 4 – 3 x = 1 |
\(y=3 – 2\,(-\frac{3}{2})\) y = 3 + 3 y = 6 |
\(z=-7 – 4\,(-\frac{3}{2})\) z = – 7 + 6 z = – 1 |
Punto de intersección de las dos rectas: S ( 1 , 6 , –1 ).
Ángulo entre las rectas:
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{\mathbf{A}_1\cdot\mathbf{A}_2}{\|\mathbf{A}_1\|\,\|\mathbf{A}_2\|}\)
Siendo los vectores directores de las rectas A1 = 2 i – 2 j – 4 k y A2 = i + 3 j – 2 k se tiene:
Producto escalar de los vectores A1 y A2.
A1.A2 = (2 i – 2 j – 4 k) . (i + 3 j – 2 k)
A1.A2 = (2) (1) + (–2) (3) + (–4) (–2)
A1.A2 = 2 – 6 + 8
A1.A2 = 4
Módulo del vector A1.
\( \displaystyle \|\mathbf{A}_1\|=\sqrt{(2)^2+(-2)^2+(-4)^2}\)
\( \displaystyle \|\mathbf{A}_1\|=\sqrt{4+4+16}\)
\( \displaystyle \|\mathbf{A}_1\|=\sqrt{24}\)
\( \displaystyle \|\mathbf{A}_1\|=2\,\sqrt{6}\)
Módulo del vector A2.
\( \displaystyle \|\mathbf{A}_2\|=\sqrt{(1)^2+(3)^2+(-2)^2}\)
\( \displaystyle \|\mathbf{A}_2\|=\sqrt{1+9+4}\)
\( \displaystyle \|\mathbf{A}_2\|=\sqrt{14}\)
Ángulo entre las rectas.
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{4}{2\,\sqrt{6}\times\sqrt{14}}\)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{2}{2\,\sqrt{21}}\)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{21}}\)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{21}}\times\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}\)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt{21}}{21}\)
\( \displaystyle \theta=\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{21}}{21}\right)\)
Segundo mecanismo de solución.
Sean las rectas L1 y L2 en ℝ3 con vectores directores A1 y A2 respectivamente. Sea P un punto de la recta L1, Q un punto de la recta L2 y PQ un vector definido por los puntos P y Q. Si A1×A2 ≠ 0 y PQ.A1×A2 = 0, las rectas se intersectan en un punto.
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Recta 1: x = 4 + 2 t y = 3 – 2 t z = – 7 – 4 t Punto: P ( 4 , 3 , – 7 ) Vector director: A1 = 2 i – 2 j – 4 k |
Recta 2: x = s y = 3 + 3 s z = 1 – 2 s Punto: Q ( 0 , 3 , 1 ) Vector director: A2 = i + 3 j – 2 k |
Producto vectorial de los vectores A1 y A2.
\(\displaystyle \mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\2&-2&-4\\1&3&-2\end{vmatrix}\)
A1×A2 = [(– 2) (– 2) – (3) (– 4)] i – [(2) (– 2) – (1) (– 4)] j + [(2) (3) – (1) (– 2)] k
A1×A2 = (4 + 12) i – (– 4 + 4) j + (6 + 2) k
A1×A2 = 16 i + 0 j + 8 k
Puesto que A1×A2 ≠ 0, entonces los vectores A1 y A2 no son paralelos, luego las rectas 1 y 2 no son paralelas.
Vector PQ:
PQ = (0 – 4) i + (3 – 3) j + [1 – (–7)] k
PQ = – 4 i + 0 j + 8 k
PQ.A1×A2 = (– 4 i + 0 j + 8 k) . (16 i + 0 j + 8 k)
PQ.A1×A2 = (– 4) (16) + (0) (0) + (8) (8)
PQ.A1×A2 = – 64 + 64
PQ.A1×A2 = 0
Puesto que A1×A2 ≠ 0 y PQ.A1×A2 = 0, entonces las rectas 1 y 2 se intersectan.
Una vez que se determina que las rectas se intersectan, se procede a determinar el punto de intersección entre las mismas.
Determinar el valor de los parámetros t y s en el punto de intersección.
| \(\displaystyle t=\frac{(\mathbf{PQ}\times\mathbf{A}_2)\cdot(\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2)}{\|\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2\|^2}\) | \(\displaystyle s=\frac{(\mathbf{PQ}\times\mathbf{A}_1)\cdot(\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2)}{\|\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2\|^2}\) |
Las operaciones requeridas (para el cálculo de t) son:
\(\displaystyle \mathbf{PQ}\times \mathbf{A}_2=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\-4&0&8\\1&3&-2\end{vmatrix}\)
PQ×A2 = [(0) (– 2) – (3) (8)] i – [(– 4) (– 2) – (1) (8)] j + [(– 4) (3) – (1) (0)] k
PQ×A2 = (0 – 24) i – (8 – 8) j + (– 12 – 0) k
PQ×A2 = – 24 i + 0 j – 12 k
(PQ×A2) . (A1×A2) = (– 24 i + 0 j – 12 k) . (16 i + 0 j + 8 k)
(PQ×A2) . (A1×A2) = (– 24) (16) + (0) (0) + (– 12) (8)
(PQ×A2) . (A1×A2) = – 384 + 0 – 96
(PQ×A2) . (A1×A2) = – 480
|| A1×A2 ||2 = (16)2 + (0)2 + (8)2
|| A1×A2 ||2 = 256 + 0 + 64
|| A1×A2 ||2 = 320
Cálculo de t.
\(\displaystyle t=\frac{-480}{320}\)
\( t=-\frac{3}{2}\)
