Descripción
Las ecuaciones de una recta son x + 3 y – z – 4 = 0 y 2 x – y + z + 6 = 0. Hallar la forma simétrica.
Referencia:
Ejemplo 1. Sección 126 del Lehmann. Página 380.
Solución.
Primer mecanismo de solución.
Para determinar la ecuación de la recta de intersección de los dos planos, se parametriza una de las tres variables x, y o z y se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas resultante en función del parámetro t.
Sea x = t.
Las ecuaciones de los planos se convierten en:
t + 3 y – z – 4 = 0
2 t – y + z + 6 = 0
El sistema anterior puede ser escrito como:
3 y – z = 4 – t
– y + z = – 6 – 2 t
La solución del sistema de ecuaciones anterior es:
\(y = -1-\frac{3}{2}t\)
\(y = -7-\frac{7}{2}t\)
La forma paramétrica de la ecuación de la recta buscada es:
x = t
\(y = -1-\frac{3}{2}t\)
\(y = -7-\frac{7}{2}t\)
Al despejar t de las tres ecuaciones anteriores:
t = x
\(\displaystyle t = \frac{y+1}{-\frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle t = \frac{z+7}{-\frac{7}{2}}\)
Las ecuaciones simétricas de la recta buscada son:
\(\displaystyle x=\frac{y+1}{-\frac{3}{2}}=\frac{z+7}{-\frac{7}{2}}\)
Al multiplicar todos los denominadores de la ecuación anterior por 2:
\(\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z+7}{-7}\)
Segundo mecanismo de solución.
Recta buscada.
\(\displaystyle \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\) (1)
Para determinar la ecuación de la recta, es necesario conocer un punto ( x0 , y0 , z0 ) perteneciente a la recta buscada y el vector director A = a i + b j + c k de la misma.
El vector director de la recta de intersección de dos planos en ℝ3 es A = N1 × N2, donde N1 y N2 son los vectores normales a los planos 1 y 2, respectivamente.
|
Plano 1: x + 3 y – z – 4 = 0 N1 = i + 3 j – k |
Plano 2: 2 x – y + z + 6 = 0 N2 = 2 i – j + k |
Vector director de la recta.
\(\displaystyle \mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&3&-1\\2&-1&1\end{vmatrix}\)
A = [(3) (1) – (– 1) (– 1)] i – [(1) (1) – (2) (– 1)] j + [(1) (– 1) – (2) (3)] k
A = (3 – 1) i – (1 + 2) j + (– 1 – 6) k
A = 2 i – 3 j – 7 k
Componentes del vector director de la recta buscada:
a = 2
b = – 3
c = – 7 (2)
Para determinar un punto ( x0 , y0 , z0 ) perteneciente a la recta de intersección de los dos planos en ℝ 3 se debe asignar un valor arbitrario a una de las variables x, y ó z y resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas resultante de la sustitución del valor asignado en las dos ecuaciones de los planos.
Sea x = 0. Al sustituir en las ecuaciones de los planos:
(0) + 3 y – z – 4 = 0
3 (0) – y + z + 6 = 0
El sistema anterior puede ser escrito como:
3 y – z = 4
– y + z = – 6
La solución del sistema de ecuaciones anterior es:
y = – 1
z = – 7
Punto perteneciente a la recta de intersección de los planos.
( x0 , y0 , z0 ) = (0 , – 1 , – 7 )
Coordenadas del punto perteneciente a la recta buscada:
x0 = 0
y0 = – 1
z0 = – 7 (3)
Al sustituir los valores dados por (2) y (3) en la ecuación (1):
\(\displaystyle \frac{x-(0)}{2}=\frac{y-(-1)}{-3}=\frac{z-(-7)}{-7}\)
\(\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z+7}{-7}\)
