Descripción
Hallar la ecuación simétrica para la recta que pasa por los puntos ( 5 , 3 , 1 ) y ( 2 , 1 , 1 ).
Referencia:
Ejemplo 6. Sección 11.5 del Zill. Cuarta Edición. Página 632.
Solución.
Ecuación simétrica de la recta buscada:
\(\displaystyle \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\) (1)
Coordenadas del punto perteneciente a la recta buscada:
( x0 , y0 , z0 ) = ( 5 , 3 , 1 )
x0 = 5
y0 = 3
z0 = 1 (2)
El vector A = a i + b j + c k se obtiene a partir del vector dirigido bien sea desde el punto P ( 5 , 3 , 1 ) hasta el punto Q ( 2 , 1 , 1 ) o desde el punto Q hasta el punto P (El opuesto de PQ).
Si elegimos como vector director de la recta el vector desde P hasta Q:
A = (2 – 5) i + (1 – 3) j + (1 – 1) k
A = – 3 i – 2 j + 0 k
Componentes del vector director de la recta buscada:
a = – 3
b = – 3
c = 0 (3)
Al sustituir los valores dados por (2) y (3) en la ecuación (1):
\(\displaystyle \frac{x-5}{-3}=\frac{y-3}{-3}=\frac{z-1}{0}\)
Obsérvese la división entre cero en el término correspondiente a la componente z. Dicha división es una incongruencia matemática en la solución encontrada del problema. Para solventar esta situación, la ecuación simétrica de la recta se escribe como:
\(\displaystyle \frac{x-5}{-3}=\frac{y-3}{-2}\), z = 1
Otras soluciones factibles del problema son:
Si se toman el punto ( 2 , 1 , 1 ) y el vector PQ = – 3 i – 2 j + 0 k
\(\displaystyle \frac{x-2}{-3}=\frac{y-1}{-2}\), z = 1, z = 1
Si se toman el punto ( 5 , 3 , 1 ) y el vector QP = 3 i + 2 j + 0 k
\(\displaystyle \frac{x-5}{3}=\frac{y-3}{2}\), z = 1
Si se toman el punto ( 2 , 1 , 1 ) y el vector QP = 3 i + 2 j + 0 k
\(\displaystyle \frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{2}\), z = 1
Debido a la posibilidad de encontrar varias ecuaciones de la recta que satisfacen las condiciones del problema es que se dice que la ecuación de una recta en el espacio no es única.
