Descripción
Ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por dos puntos.
Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos ( – 2 , 1 , 0 ) y ( 1 , 3 , 5 ).
Referencia:
Ejemplo 2. Sección 11.5 del Larson. Novena Edición. Página 801.
Solución.
Ecuaciones paramétricas de la recta buscada:
x = x0 + a t
y = y0 + b t
z = x0 + c t (1)
Coordenadas del punto perteneciente a la recta buscada:
P0 ( x0 , y0 , z0 ) = P0 ( – 2 , 1 , 0 )
x0 = – 2
y0 = 1
z0 = 0 (2)
El vector A = a i + b j + c k se obtiene a partir del vector dirigido bien sea desde el punto P ( – 2 , 1 , 0 ) hasta el punto Q ( 1 , 3 , 5 ) o desde el punto Q hasta el punto P (El opuesto de PQ).
Si elegimos como vector director de la recta el vector desde P hasta Q:
A = [1 – (–2)] i + (3 – 1) j + (5 – 0) k
A = 3 i + 2 j + 5 k
Componentes del vector director de la recta buscada:
a = 3
b = 2
c = 5 (3)
Al sustituir los valores dados por (2) y (3) en las ecuaciones (1):
x = – 2 + 3 t
y = 1 + 2 t
z = 0 + 5 t
La recta finalmente queda expresada como:
x = – 2 + 3 t
y = 1 + 2 t
z = 5 t
Otras soluciones factibles del problema son:
Si se toman el punto ( 1 , 3 , 5 ) y el vector PQ = 3 i + 2 j + 5 k
x = 1 + 3 t
y = 3 + 2 t
z = 5 + 5 t
Si se toman el punto ( –2 , 1 , 0 ) y el vector QP = – 3 i – 2 j – 5 k
x = – 2 – 3 t
y = 1 – 2 t
z = 0 – 5 t
Si se toman el punto ( 1 , 3 , 5 ) y el vector QP = – 3 i – 2 j – 5 k
x = 1 – 3 t
y = 3 – 2 t
z = 5 – 5 t
Debido a la posibilidad de encontrar varias ecuaciones de la recta que satisfacen las condiciones del problema es que se dice que la ecuación de una recta en el espacio no es única.
