Descripción
Demuestre que las rectas son oblicuas y calcule la distancia entre ellas.
L1: x = – 3 + t, y = 7 + 3 t, z = 5 + 2 t
L2: x = 4 + s, y = 8 – 2 s, z = 10 – 4 s
Referencia:
Guía de Ejercicios Prof. Thais Marín. Universidad de Oriente. Núcleo de Anzoátegui. Periodo I-2025.
Solución.
Las rectas dadas son oblícuas si no son paralelas ni se cortan en un punto. Si los vectores directores son A1 y A2, entonces las rectas no son paralelas si A1×A2 ≠ 0 y, no siendo paralelas, no se cortan en un punto si PQ.A1×A2 ≠ 0.
Vector director de cada recta.
|
Recta 1: x = – 3 + t y = 7 + 3 t z = 5 + 2 t Punto: P ( – 6 , 20 , 1 ) Vector director: A1 = i + 3 j + 2 k |
Recta 2: x = 4 + s y = 8 – 2 s z = 10 – 4 s Punto: Q ( 5 , – 9 , 1 ) Vector director: A2 = i – 2 j – 4 k |
Producto vectorial de los vectores A1 y A2.
\(\displaystyle \mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&3&2\\1&-2&-4\end{vmatrix}\)
A1×A2 = [(3) (– 4) – (– 2) (2)] i – [(1) (– 4) – (1) (2)] j + [(1) (– 2) – (1) (3)] k
A1×A2 = (– 12 + 4) i – (– 4 – 2) j + (– 2 – 3) k
A1×A2 = – 8 i + 6 j – 5 k
Puesto que A1×A2 ≠ 0, entonces los vectores A1 y A2 no son paralelos, luego las rectas 1 y 2 no son paralelas.
Condición de intersección de las rectas.
Vector PQ:
PQ = [4 – (– 3)] i + (8 – 7) j + (10 – 5) k
PQ = 7 i + j + 5 k
Producto escalar entre los vectores PQ y A1×A2.
PQ.A1×A2 = (7 i + j + 5 k).(– 8 i + 6 j – 5 k)
PQ.A1×A2 = – 56 + 6 – 25
PQ.A1×A2 = – 75
Puesto que A1×A2 ≠ 0 y PQ.A1×A2 ≠ 0, entonces las rectas 1 y 2 no se intersectan.
Las rectas dadas no son paralelas y tampoco se intersectan en un punto, entonces queda demostrado que dichas rectas son oblicuas.
Primer mecanismo para determinar la distancia entre las rectas.
La distancia entre las rectas se determina con la ecuación:
\(\displaystyle \text{Distancia}=\frac{|\mathbf{PQ}\cdot\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2|}{\|\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2\|}\)
Módulo del vector A1×A2.
\(\displaystyle \|\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2\|=\sqrt{(-8)^2+(6)^2+(-5)^2}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2\|=\sqrt{64+36+25}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2\|=\sqrt{125}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2\|=5\,\sqrt{5}\)
Distancia entre las rectas.
\(\displaystyle \text{Distancia}=\frac{|-75|}{5\,\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle \text{Distancia}=\frac{75}{5\,\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle \text{Distancia}=\frac{15}{\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle \text{Distancia}=\frac{15}{\sqrt{5}}\times\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle \text{Distancia}=\frac{15\,\sqrt{5}}{5}\)
\(\displaystyle \text{Distancia}=3\,\sqrt{5}\) Unidades de longitud.
Segundo mecanismo para determinar la distancia entre las rectas.
Determinación del parámetro de cada recta que generan la distancia mínima.
\(\displaystyle t=\frac{(\mathbf{PQ}\times\mathbf{A}_2)\cdot(\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2)}{\|\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2\|^2}\)
\(\displaystyle s=\frac{(\mathbf{PQ}\times\mathbf{A}_1)\cdot(\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2)}{\|\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2\|^2}\)
Las operaciones requeridas son:
\(\displaystyle \mathbf{PQ}\times \mathbf{A}_2=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\7&1&5\\1&-2&-4\end{vmatrix}\)
PQ×A2 = [(1) (– 4) – (– 2) (5)] i – [(7) (– 4) – (1) (5)] j + [(7) (– 2) – (1) (1)] k
PQ×A2 = (– 4 + 10) i – (– 28 – 5) j + (– 14 – 1) k
PQ×A2 = 6 i + 33 j – 15 k
\(\displaystyle \mathbf{PQ}\times \mathbf{A}_1=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\7&1&5\\1&3&2\end{vmatrix}\)
PQ×A1 = [(1) (2) – (3) (5)] i – [(7) (2) – (1) (5)] j + [(7) (3) – (1) (1)] k
PQ×A1 = (2 – 15) i – (14 – 5) j + (21 – 1) k
PQ×A1 = – 13 i – 9 j + 20 k
(PQ×A2) . (A1×A2) = (6 i + 33 j – 15 k) . (– 8 i + 6 j – 5 k)
(PQ×A2) . (A1×A2) = (6) (– 8) + (33) (6) + (– 15) (– 5)
(PQ×A2) . (A1×A2) = – 48 + 198 + 75
(PQ×A2) . (A1×A2) = 225
(PQ×A1) . (A1×A2) = (– 13 i – 9 j + 20 k) . (– 8 i + 6 j – 5 k)
(PQ×A1) . (A1×A2) = (– 13) (– 8) + (– 9) (6) + (20) (– 5)
(PQ×A1) . (A1×A2) = 104 – 54 – 100
(PQ×A1) . (A1×A2) = – 50
Cálculo de t.
\(\displaystyle t=\frac{225}{125}\)
\(t=\frac{9}{5}\)
Cálculo de s.
\(\displaystyle s=\frac{-50}{125}\)
\(s=-\frac{2}{5}\)
Coordenadas del punto de cada recta que genera la distancia mínima.
Recta 1:
\( x=-3+\frac{9}{5}\)
\( x=-\frac{6}{5}\)
\( y=7+3\,(\frac{9}{5})\)
\( y=\frac{62}{5}\)
\( z=5+2\,(\frac{9}{5})\)
\( z=\frac{43}{5}\)
Recta 2:
\( x=4+(-\frac{2}{5})\)
\( x=\frac{18}{5}\)
\( y=8-2\,(-\frac{2}{5})\)
\( y=\frac{44}{5}\)
\( z=10-4\,(-\frac{2}{5})\)
\( z=\frac{58}{5}\)
La distancia entre estos puntos es:
\(\text{Distancia}=\sqrt{[\frac{18}{5}-(-\frac{6}{5})]^2+(\frac{44}{5}-\frac{62}{5})^2+(\frac{58}{5}-\frac{43}{5})^2}\)
\(\text{Distancia}=\sqrt{(\frac{24}{5})^2+(-\frac{18}{5})^2+(3)^2}\)
\(\text{Distancia}=\sqrt{\frac{576}{25}+\frac{324}{25}+9}\)
\(\text{Distancia}=\sqrt{45}\)
\(\displaystyle \text{Distancia}=3\,\sqrt{5}\) Unidades de longitud.
