Descripción
Calcular el ángulo formado por los dos planos 2 x – 4 y – 5 z = 2 y x + 2 y + z = 1.
Referencia: Ejemplo 4. Sección 14.3 del Larson – Hostetler. Segunda Edición. Página 645.
Solución.
Ángulo entre los planos.
\( \displaystyle \theta = \cos^{-1}\left(\frac{|\mathbf{N}_1\cdot \mathbf{N}_2|}{\|\mathbf{N}_1\| \cdot\|\mathbf{N}_2\|}\right)\) (1)
Vector normal de cada plano.
Conocida la ecuación general de los planos, el vector normal de cada plano se obtiene en forma inmediata.
Las componentes del vector normal son los coeficientes de x, y y z en la ecuación general del plano.
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Plano 1. 2 x – 4 y – 5 z = 2 N1 = 2 i – 4 j – 5 k |
Plano 2. x + 2 y + z = 1 N2 = i + 2 j + k |
Producto escalar de los vectores N1 y N2.
N1 . N2 = (2 i – 4 j – 5 k) . (i + 2 j + k)
N1 . N2 = (2) (1) + (– 4) (2) + (–5) (1)
N1 . N2 = 2 – 8 – 5
N1 . N2 = –11
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Módulo del vector N1. \( \displaystyle \|\mathbf{N}_1\|=\sqrt{(2)^2+(-4)^2+(-5)^2} \) \( \displaystyle \|\mathbf{N}_1\|=\sqrt{4+16+25} \) \( \displaystyle \|\mathbf{N}_1\|=\sqrt{45} \) \( \displaystyle \|\mathbf{N}_1\|=3\sqrt{5} \) |
Módulo del vector N2. \( \displaystyle \|\mathbf{N}_2\|=\sqrt{(1)^2+(2)^2+(1)^2} \) \( \displaystyle \|\mathbf{N}_2\|=\sqrt{1+4+1} \) \( \displaystyle \|\mathbf{N}_2\|=\sqrt{6} \)
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Ángulo entre los planos.
Al sustituir valores en la ecución (1):
\( \displaystyle \theta = \cos^{-1}\left[\frac{|-11|}{(3\,\sqrt{5})\,(\sqrt{6})}\right]\)
\( \displaystyle \theta = \cos^{-1}\left(\frac{11}{3\,\sqrt{30}}\right)\)
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