Descripción
Pruébese que las rectas \( \displaystyle \frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{1}\) y \( \displaystyle \frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{2}\) son secantes, y hállese el plano que las contiene.
Referencias:
Problema 17. Sección 12-8 del Thomas. Página 602.
Guía de Ejercicios Prof. Thais Marín. Universidad de Oriente. Núcleo de Anzoátegui. Periodo I-2025.
Solución.
Las rectas son secantes si no son paralelas y se intersectan en un punto.
En primer lugar demostraremos que las rectas no son paralelas.
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Recta 1: \( \displaystyle \frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{1}\) Punto: P ( 2 , 2 , 3 ) Vector director: A1 = i + 3 j + k |
Recta 2: \( \displaystyle \frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{2}\) Punto: Q ( 2 , 3 , 4 ) Vector director: A2 = i + 4 j + 2 k |
Las rectas dadas son paralelas si sus vectores directores son paralelos. Si los vectores directores son A1 y A2, entonces las rectas son paralelas si A1×A2 = 0.
Producto vectorial de los vectores directores.
\(\displaystyle \mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&3&1\\1&4&2\end{vmatrix}\)
A1×A2 = [(3) (2) – (4) (1)] i – [(1) (2) – (1) (1)] j + [(1) (4) – (1) (3)] k
A1×A2 = (6 – 4) i – (2 – 1) j + (4 – 3) k
A1×A2 = 2 i – j + k
Puesto que A1×A2 ≠ 0, entonces los vectores A1 y A2 no son paralelos, luego las rectas L1 y L2 no son paralelas.
Seguidamente demostraremos que las rectas se interceptan en un punto.
Si los vectores directores son A1 y A2, no siendo paralelas la rectas, se cortan en un punto si PQ.A1×A2 = 0.
Vector PQ:
PQ = (2 – 2) i + (3 – 2) j + (4 – 3) k
PQ = 0 i + j + k
PQ.A1×A2 = (0 i + j + k) . (2 i – j + k)
PQ.A1×A2 = (0) (2) + (1) (– 1) + (1) (1)
PQ.A1×A2 = 0 – 1 + 1
PQ.A1×A2 = 0
Puesto que PQ.A1×A2 = 0, entonces las rectas 1 y 2 se intersectan.
Las rectas no son paralelas y se intersectan en un punto, por lo tanto son secantes.
Ecuación canónica del plano buscado: a (x – x0) + b (y – y0) + c (z – z0) = 0.
Vector normal del plano buscado.
El vector normal del plano buscado es el que resulta del producto vectorial entre los vectores directores de las rectas dadas.
N = 2 i – j + k
Un punto ( x0 , y0 , z0 ) perteneciente al plano buscado es el punto perteneciente a cualquiera de las dos rectas: ( x0 , y0 , z0 ) = ( 2 , 2 , 3 ).
Al sustituir valores en la ecuación canónica del plano buscado:
(2) [x – (2)] + (–1) [y – (2)] + (1) [z – (3)] = 0
2 (x – 2) – (y – 2) + (z – 3) = 0
2 x – 4 – y + 2 + z – 3 = 0
2 x – y + z – 5 = 0
Segundo mecanismo de solución.
Una vez demostrado que las rectas no son paralelas y que se interceptan en un punto, se define un vector entre dos puntos cualesquiera de ambas rectas, tal como el vector PQ descrito anteriormente. El vector normal del plano buscado es perpendicular al vector PQ y al vector director de ambas rectas:
N = PQ×A1
\(\displaystyle \mathbf{N}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\0&1&1\\1&3&1\end{vmatrix}\)
N = [(1) (1) – (3) (1)] i – [(0) (1) – (1) (1)] j + [(0) (3) – (1) (1)] k
N = (1 – 3) i – (0 – 1) j + (0 – 1) k
N = – 2 i + j – k
Un punto ( x0 , y0 , z0 ) perteneciente al plano buscado es el punto perteneciente a cualquiera de las dos rectas: ( x0 , y0 , z0 ) = ( 2 , 2 , 3 ).
Al sustituir valores en la ecuación canónica del plano buscado:
(– 2) [x – (2)] + (1) [y – (2)] + (– 1) [z – (3)] = 0
– 2 (x – 2) + (y – 2) – (z – 3) = 0
– 2 x + 4 + y – 2 – z + 3 = 0
– 2 x + y – z + 5 = 0
2 x – y + z – 5 = 0
