Descripción
Hallar una ecuación correspondiente al plano que contiene las dos rectas:
L1: x = 4 + 2 t, y = 3 – 2 t, z = – 7 – 4 t
L2: x = s, y = 3 + 3 s, z = 1 – 2 s
Referencias:
Ejemplo 5. Sección 14.3 del Larson. Página 647.
Solución.
Solución.
Para hallar la ecuación del plano que contiene a dos rectas se debe averiguar si las rectas son paralelas o si se interceptan en un punto.
Averiguaremos en primer lugar si las rectas son paralelas.
Las rectas dadas son paralelas si sus vectores directores son paralelos. Si los vectores directores son A1 y A2, entonces las rectas son paralelas si A1×A2 = 0.
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Recta 1: x = 4 + 2 t y = 3 – 2 t z = – 7 – 4 t Punto: P ( 4 , 3 , – 7 ) Vector director: A1 = 2 i – 2 j – 4 k |
Recta 2: x = s y = 3 + 3 s z = 1 – 2 s Punto: Q ( 0 , 3 , 1 ) Vector director: A2 = i + 3 j – 2 k |
Producto vectorial de los vectores directores.
\(\displaystyle \mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\2&-2&-4\\1&3&-2\end{vmatrix}\)
A1×A2 = [(– 2) (– 2) – (3) (– 4)] i – [(2) (– 2) – (1) (– 4)] j + [(2) (3) – (1) (– 2)] k
A1×A2 = (4 + 12) i – (– 4 + 4) j + (6 + 2) k
A1×A2 = 16 i + 0 j + 8 k
Puesto que A1×A2 ≠ 0, entonces los vectores A1 y A2 no son paralelos, luego las rectas L1 y L2 no son paralelas.
Dado que las rectas no son paralelas, seguidamente averiguaremos si se interceptan en un punto.
Si los vectores directores son A1 y A2, no siendo paralelas la rectas, se cortan en un punto si PQ.A1×A2 = 0.
Vector PQ:
PQ = (0 – 4) i + (3 – 3) j + [1 – (–7)] k
PQ = – 4 i + 0 j + 8 k
PQ.A1×A2 = (– 4 i + 0 j + 8 k).( 16 i + 0 j + 8 k)
PQ.A1×A2 = (– 4) (16) + (0) (0) + (8) (8)
PQ.A1×A2 = – 64 + 0 + 64
PQ.A1×A2 = 0
Puesto que PQ.A1×A2 = 0, entonces las rectas 1 y 2 se intersectan.
Ecuación canónica del plano buscado: a (x – x0) + b (y – y0) + c (z – z0) = 0.
Vector normal del plano buscado.
El vector normal del plano buscado es el que resulta del producto vectorial entre los vectores directores de las rectas dadas.
N = 16 i + 0 j + 8 k
Un vector paralelo al anterior es:
N = 2 i + 0 j + k
Un punto ( x0 , y0 , z0 ) perteneciente al plano buscado es el punto perteneciente a cualquiera de las dos rectas: ( x0 , y0 , z0 ) = ( 4 , 3 , – 7 ).
Al sustituir valores en la ecuación canónica del plano buscado:
(2) [x – (4)] + (0) [y – (3)] + (1) [z – (–7)] = 0
2 (x – 4) + (z + 7) = 0
2 x – 8 + z + 7 = 0
2 x + z – 1 = 0
