Descripción
Hallar la siguiente integral, emplendo sustitución trigonométrica \( \displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}\,d\,x\).
Referencias:
Ejemplo 2. Sección 79 del Phillips. Página 138.
Ejercicio 21. Sección 7.5 del Salas – Hille. Página 387.
Exercise 1. Section 108 from James Michie. Page 193.
Problema 1780 del Demidovich. Página 181.
Ejemplo 4. Sección 8.3 del Purcell. Octava Edición. Página 382.
Ejemplo 4. Sección 7.4 del Purcell. Novena Edición. Página 401.
Solución.
El integrando tiene la forma , se hace la sustitución:
| x = a sen θ | d x = a cos θ d θ | \( \displaystyle \sqrt{a^2 – x^2} = \sqrt{a^2 – (a \sin \theta)^2} \) |
| \( \displaystyle \sqrt{a^2 – x^2} = \sqrt{a^2 – a^2\sin^2 \theta} \) | ||
| \(\displaystyle\sqrt{a^2 – x^2}= \sqrt{a^2\,(1-\sin^2 \theta)} \) | ||
| \(\displaystyle\sqrt{a^2 – x^2}= \sqrt{a^2\,\cos^2 \theta} \) | ||
| \(\displaystyle\sqrt{a^2 – x^2}= a\cos \theta \) |
Al sustituir \( \displaystyle \sqrt{a^2 – x^2} = a\cos \theta\) y d x = a cos θ d θ en la integral:
\( \displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}\,d\,x=\int(a\cos\theta)\,(a\cos\theta\,d\,\theta)\)
\( \displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}\,d\,x=\int a^2\cos^2\theta\,d\,\theta\)
\( \displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}\,d\,x=a^2\int \cos^2\theta\,d\,\theta\)
La integral anterior se resuelve aplicando integración de potencias de funciones trigonométricas.
\( \displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}\,d\,x=a^2\int \frac{1}{2}(1+\cos 2\,\theta)\,d\,\theta\)
\( \displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}\,d\,x=\frac{1}{2}a^2\int (1+\cos 2\,\theta)\,d\,\theta\)
\( \displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}\,\,x=\frac{1}{2}a^2\int d\,\theta+\frac{1}{2}a^2\int \cos 2\,\theta\,d\,\theta\)
La integración conduce a:
\( \displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}\,d\,x=\frac{1}{2}a^2\theta+\frac{1}{2}a^2\,\left(\frac{1}{2}\sin 2\,\theta\right)+C\)
\( \displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}\,d\,x=\frac{1}{2}a^2\theta+\frac{1}{4}a^2\sin 2\,\theta+C\)
Para volver a la variable inicial, no es posible definir en forma directa sen 2 θ en función de x, por lo cual se aplica la identidad sen 2 θ = 2 sen θ cos θ
\( \displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}\,d\,x=\frac{1}{2}a^2\theta+\frac{1}{4}a^2\,(2\,\sin\theta\,\cos\theta)+C\)
\( \displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}\,d\,x=\frac{1}{2}a^2\theta+\frac{1}{2}a^2\sin \theta\,\cos\theta+C\) (1)
Para volver a la variable original se debe definir θ, sen θ y cos θ en función de x.
Partiendo de la sustitución trigonométrica realizada:
x = a sen θ
\( \displaystyle \sin\theta=\frac{x}{a}=\frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}\)
Se construye un triángulo rectángulo cuyo cateto opuesto es x e hipotenusa es a. El lado faltante, se determina con la aplicación del teorema de Pitágoras.
Observe que la magnitud del lado faltante \( \displaystyle\sqrt{a^2-x^2}\) coincide con la expresión que se encuentra en el integrando.
A partir del triángulo obtenido, se define θ, sen θ y cos θ.
\( \displaystyle \theta=\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\) (2)
\( \displaystyle \sin\theta=\frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}\)
\( \displaystyle \sin\theta=\frac{x}{a}\) (3)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{\text{Cateto adyacente}}{\text{Hipotenusa}}\)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}\) (4)
Al sustituir las ecuaciones (2), (3) y (4) en la ecuación (1):
\( \displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}\,d\,x=\frac{1}{2}a^2\left[\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right]+\frac{1}{2}a^2\left(\frac{x}{a}\right)\,\left(\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}\right)+C\)
\( \displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}\,d\,x=\frac{1}{2}a^2\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+C\)
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