Descripción
Dados los conjuntos A = { x ∈ ℤ / x2 ≤ 10 }, B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 } y la relación
R = { ( x , y ) ∈ A × B / y = x2 – x }.
Represente la relación mediante un conjunto de pares ordenados.
Determine dominio y rango de la relación.
Solución.
En primer lugar se determinan los elementos de cada conjunto. Para el conjunto A, se trata de todos los números enteros tal que se cumpla la relación x2 ≤ 10. Los elementos de A son: – 3 , – 2, – 1, 0, 1, 2, 3. De esta manera:
A = { – 3 , – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 }
B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 }
Seguidamente, se determina el producto cartesiano A × B.
A × B = { ( – 3 , 0 ) , ( – 3 , 1 ) , ( – 3 , 2 ) , ( – 3 , 3 ) , ( – 3 , 4 ) , ( – 3 , 5 ) , ( – 3 , 6 ) ,
( – 2 , 0 ) , ( – 2 , 1 ) , ( – 2 , 2 ) , ( – 2 , 3 ) , ( – 2 , 4 ) , ( – 2 , 5 ) , ( – 2 , 6 ) ,
( – 1 , 0 ) , ( – 1 , 1 ) , ( – 1 , 2 ) , ( – 1 , 3 ) , ( – 1 , 4 ) , ( – 1 , 5 ) , ( – 1 , 6 ) ,
( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 0 , 2 ) , ( 0 , 3 ) , ( 0 , 4 ) , ( 0 , 5 ) , ( 0 , 6 ) ,
( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 1 , 6 ) ,
( 2 , 0 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 2 , 6 ) ,
( 3 , 0 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 3 , 4 ) , ( 3 , 5 ) , ( 3 , 6 ) }
Según la relación dada, los elementos de B (y) deben ser iguales al elemento de A elevado al cuadrado y restado el valor del elemento (x2 – x). Los elementos del producto cartesiano que cumplen con esa relación se ilustran a continuación:
A × B = { ( – 3 , 0 ) , ( – 3 , 1 ) , ( – 3 , 2 ) , ( – 3 , 3 ) , ( – 3 , 4 ) , ( – 3 , 5 ) , ( – 3 , 6 ) , ( – 2 , 0 ) , ( – 2 , 1 ) , ( – 2 , 2 ) , ( – 2 , 3 ) , ( – 2 , 4 ) , ( – 2 , 5 ) , ( – 2 , 6 ) , ( – 1 , 0 ) , ( – 1 , 1 ) , ( – 1 , 2 ) , ( – 1 , 3 ) , ( – 1 , 4 ) , ( – 1 , 5 ) , ( – 1 , 6 ) , ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 0 , 2 ) , ( 0 , 3 ) , ( 0 , 4 ) , ( 0 , 5 ) , ( 0 , 6 ) , ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 1 , 6 ) , ( 2 , 0 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 2 , 6 ) , ( 3 , 0 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 3 , 4 ) , ( 3 , 5 ) , ( 3 , 6 ) }
Los elementos de la relación indicada son:
R = { ( – 2 , 6 ) , ( – 1 , 2 ) , ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 2 , 2 ) }
Dominio de la relación.
Dom R = { – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 }
Rango de la relación.
Rgo R = { 6 , 2 , 0 }
