Descripción
En la siguiente gráfica, determinar el dominio y rango de f (x).
Solución.
Dominio de la función.
Se tienen cinco curvas y un punto. Los dominios individuales son (– 6, – 4), (– 4, – 2), [ –2,0), (0,4], (4,6) y {6}. El dominio se obtiene mediante la operación:
Dom f = (– 6,– 4) ∪ (– 4, – 2) ∪ [– 2,0) ∪ (0,4] ∪ (4,6) ∪ {6}
Puesto que el elemento “–2” no está incluido en el segundo intervalo, pero si en el tercero, resulta incluido en la unión. Situación similar ocurre con el “4” en el cuarto y quinto intervalos. Finalmente, el 6 no está incluido en el quinto intervalo, pero pertenece al punto aislado:
Dom f = (– 6,– 4) ∪ (– 4,0) ∪ (0,6]
Una forma práctica de obtener el dominio es la siguiente:
Tomar una regla y colocarla en forma vertical y hacer un recorrido horizontal a lo largo del eje x (de izquierda a derecha). La regla intersecta a la curva desde – 6 (abierto) hasta – 4 (abierto). Se interrumpe el recorrido en – 4 porque está abierto tanto para la primera como para la segunda curva. Continuando el recorrido, observamos que va desde – 4 (abierto) hasta – 2 (abierto) y no ocurre interrupción porque –2 está cerrado en la curva siguiente, llegando hasta el 0 (abierto), existiendo otra interrupción porque 0 está abierto en ambas curvas. Se continua desde cero (abierto) hasta 4 (cerrado) y se continua hasta el 6, que a pesar de estar abierto en el extremo derecho de la curva, está incluido en el punto aislado:
Dom f = (– 6,– 4) ∪ (– 4,0) ∪ (0,6]
Rango de la función.
Los rangos individuales son (– 2,0), [0,2) y [0,4), {4} y {6}. El rango se obtiene mediante la operación:
Rgo f = (– 2,0) ∪ [0,2) ∪ [0,4) ∪ {4} ∪ {6}
El resultado de la operación anterior es:
Rgo f = (– 2, 4] ∪ {6}
Una forma práctica de obtener el rango es la siguiente:
Tomar una regla y colocarla en forma horizontal y hacer un recorrido vertical a lo largo del eje y (de abajo hacia arriba). La regla intersecta a la curva desde y = – 2 (abierto) hasta 0 (abierto), y continua, puesto que el cero está cerrado en dos de las curvas hasta 4 (abierto). A pesar de que el valor y = 4 no está incluido en los extremos de tres de las curvas, si está incluido para puntos intermedios. Hay un cierre en y = 4, luego sigue el recorrido y encontramos sólo el 6 (cerrado, porque es un punto incluido). El rango es:
Rgo f = (– 2, 4] ∪ {6}
